Правило умножения в комбинаторике аксиома или нет?

[kot-obormot]

Здравствуйте! Правило умножения в комбинаторике доказывается или нет? В википедии пишут, что аксиома.
Если элемент $A$ можно выбрать $n$ способами, и при любом выборе $A$ элемент $B$ можно выбрать $m$ способами, то пару $(A, B)$ можно выбрать $n\cdot m$ способами.

Если нет, то какая лучшая иллюстрация будет для этого правила хотя бы для случая выбора двух элементов?

Я пока что вижу иллюстрацию в виде матрицы. Но есть ли более наглядный пример на пальцах (чтобы не так сухо)?

$X=\{x_1,x_2,x_3,...x_n\}$

$B=\{b_1, b_2, ..,b_m\}$

Пусть $a_{ij}=(x_i;b_j)$, тогда ниженаписанная матрица размерности $m\times n$ покажет количество элементов.

$$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} $$

[Null]

Это можно доказать по индукции добавляя в сомножители по 1 элементу.

[Gagarin1968]

kot-obormot в сообщении #1485610 писал(а):

Правило умножения в комбинаторике доказывается или нет? В википедии пишут, что аксиома.

И в учебнике Виленкина, и в учебнике Грехэма это теорема.

[kot-obormot]

Null в сообщении #1485611 писал(а):

то можно доказать по индукции добавляя в сомножители по 1 элементу.

Спасибо! Но меня интересовало немножко другое))

kot-obormot в сообщении #1485610 писал(а):

какая лучшая иллюстрация будет для этого правила хотя бы для случая выбора двух элементов?

-- 03.10.2020, 18:44 --

Gagarin1968 в сообщении #1485613 писал(а):

И в учебнике Виленкина, и в учебнике Грехэма это теорема

Спасибо)

[arseniiv]

Если выражать все комбинаторные понятия через дискретную математику, в смысле теорию конечных множеств, тогда правило умножения просто говорит, что для декартова произведения множеств $|X\times Y| = |X| |Y|$. По-моему это иногда постулируется. А когда доказывается — это можно доказать на разном уровне глубины. Например если мы говорим на языке конечных множеств, можно взять подмножество ZFC и шпарить прям с его низкоуровневых аксиом. Главный вопрос тут будет — зачем? Все интересности комбинаторики намного дальше, чем правило умножения, и требуют куда больше всяких математических тонкостей, так что доказывать его или нет, совершенно иррелевантно. (По крайней мере так должно быть в нормальном окружении.) Так что обычным делом я бы ожидал просто заимствование результатов подобного рода из других областей, без передоказательства и без особого статуса аксиом. $|X\times Y| = |X| |Y|$, а так же аналогичное $|X\sqcup Y| = |X| + |Y|$ для правила суммы совершенно спокойно можно бы считать уже известными заранее и не относящимися к предмету комбинаторики per se.