Доказательство по индукции, неравенство

[pritychka]

Подскажите, на каком основании мы можем выкинуть k*a^2 из правой части неравенства?

[Gagarin1968]

pritychka
Отбросив этот член, мы только усилили неравенство.
Например, $10>7+2$. Отбросив двойку, мы усилим неравенство: $10>7$.
Но в Вашем случае важно, что отброшен именно неотрицательный член.

[nnosipov]

Gagarin1968 в сообщении #1485550 писал(а):

Например, $10>7+2$. Отбросив двойку, мы усилим неравенство: $10>7$.

Нет: мы, наоборот, ослабим неравенство. Всегда из более сильного неравенства вытекает менее сильное (т.е. слабое, грубое), а не наоборот. Неравенство $(1+\alpha)^{k+1} \geqslant 1+(k+1)\alpha+k\alpha^2$ более сильное (более точное) по сравнению с неравенством $(1+\alpha)^{k+1} \geqslant 1+(k+1)\alpha$. Можно еще сказать, что второе неравенство получено огрублением первого. Огрубление --- типичный прием, используемый при доказательстве неравенств.

[Null]

Можно тупо использовать транзитивность сравнения:
$(1+\alpha)^{k+1} \geqslant 1+(k+1)\alpha+k\alpha^2\geqslant 1+(k+1)\alpha$
Если уменьшим меньшее число оно останется меньше.

[ewert]

nnosipov в сообщении #1485554 писал(а):

Нет: мы, наоборот, ослабим неравенство.

Это просто неудачное словоупотребление. Слова "ослабить/усилить" уместны для утверждений типа $A\ \Rightarrow\ B$. Неравенства -- конечно, тоже утверждения, но другого типа. Для них принято говорить "огрубить/уточнить".

[Gagarin1968]

(nnosipov)

nnosipov в сообщении #1485554 писал(а):

Gagarin1968 в сообщении #1485550 писал(а):

Например, $10>7+2$. Отбросив двойку, мы усилим неравенство: $10>7$.

Нет: мы, наоборот, ослабим неравенство. Всегда из более сильного неравенства вытекает менее сильное (т.е. слабое, грубое), а не наоборот.

Хм, а я считал до сих пор, что это и есть усиление. Ну, типа, если $10>9$, то уж тем более $10>7$.
Как-то в мозгу отложилось, что огрубить - значит усилить. Возможно, от устойчивого выражения "грубая сила".

(ewert)

ewert в сообщении #1485571 писал(а):

Это просто неудачное словоупотребление.

Да, наверное, так и есть.

[nnosipov]

ewert в сообщении #1485571 писал(а):

Это просто неудачное словоупотребление.

Неудачное или нет, но фразы "усилим неравенство", "усиленный вариант неравенства", "усилить оценку до" и т.п. встречаются в математических текстах сплошь и рядом. У меня сложилось впечатление (после просмотра нескольких статей с подобными фразами), что под "усилить" чаще понимается именно "уточнить". Однако и противоположная трактовка тоже возможна (встретилась, например, фраза "опустив неотрицательные слагаемые, мы только усилим неравенство"), что для меня довольно удивительно. Похоже, такое словоупотребление более характерно для нематематических текстов (типа "усилилось неравенство между различными слоями населения").

-- Сб окт 03, 2020 17:51:59 --

ewert в сообщении #1485571 писал(а):

Для них принято говорить "огрубить/уточнить".

В соревновании "ослабить/усилить" vs "огрубить/уточнить" победитель не очевиден. Мне оба варианта кажутся допустимыми.

Upd. Вот типичный пример статьи со сплошными "усилениями неравенств" (приложил файл).

[Gagarin1968]

(nnosipov)

Я сейчас навскидку пролистал учебник и журнальную статью (на английском) и несколько раз наткнулся на "...discarding positive terms, we will only strengthen the inequality".
Открыл пару русских учебников, причём один из них школьный и вот: "...опустив неотрицательные слагаемые, мы тем самым усилим исходное неравенство."
Получается, что я не одинок в своём заблуждении?

[nnosipov]

Gagarin1968

(Оффтоп)

Не одиноки. Налицо коллизия смыслов, бывает. "Усилим неравенство" --- в смысле сделаем разницу между частями неравенства еще большей --- для меня звучит немножко странно. Думаю, профессиональные "усиливатели неравенств" со мной согласятся.

[Gagarin1968]

(nnosipov)

nnosipov в сообщении #1485605 писал(а):

"Усилим неравенство" --- в смысле сделаем разницу между частями неравенства еще большей

Так я всю жизнь в этом смысле и понимал это выражение.
Поэтому я с удивлением и воспринял Вашу реплику. Но... с профессиональным математиком не поспоришь. Я же всего лишь скромный учитель математики в сельской школе.