Область значений функции

[kot-obormot]

Здравствуйте! Вот есть задача найти область значений функции $y=5^{-\sqrt{x^2+x}}$

И тут я вижу 2 пути. Первый быстрый (но корректный ли?) и второй - длинный.

Быстрый вариант заключается в том, что мы говорим о том, что $-\sqrt{x^2+x}\leqslant 0$ для всех $x$ из области определения функции. С другой при больших $x$ показатель степени уходит в минус бесконечность. То есть, мы можем утверждать, что $-\infty <{-\sqrt{x^2+x}}\leqslant 0$. Значение $0$ достигается при $x=0$, например. В связи с тем, что функция непрерывна на области определения, то $0<y\leqslant 1$

Второй вариант заключается в том, что мы исследовать область значений показателя степени. Для этого будем искать производную, исследовать промежутки возрастания и убывания итп.

Насколько будет корректен первый вариант?

[mihaild]

kot-obormot в сообщении #1485471 писал(а):

исследовать область значений показателя степени

Так в первом варианте это и сделано. Зачем тут производные?
В первом варианте всё правильно, только надо бы чуть строже написать про неограниченность $\sqrt{x^2 + x}$.

[kot-obormot]

mihaild в сообщении #1485472 писал(а):

kot-obormot в сообщении #1485471 писал(а):

исследовать область значений показателя степени

Так в первом варианте это и сделано. Зачем тут производные?
В первом варианте всё правильно, только надо бы чуть строже написать про неограниченность $\sqrt{x^2 + x}$.

А что именно? Нужно сказать, что $\sqrt{x^2 + x}$ возрастает, начиная с некоторого $x_0$, а также область определения неограничена сверху?

P.S. Кстати, а есть ли какой-то стандартный алгоритм нахождения области значений произвольной $f(x)$?

[mihaild]

kot-obormot в сообщении #1485476 писал(а):

Нужно сказать, что $\sqrt{x^2 + x}$ возрастает, начиная с некоторого $x_0$

Это говорить как раз необязательно.

kot-obormot в сообщении #1485476 писал(а):

а также область определения неограничена сверху?

А вот это нужно как-то обосновать - например показать, что для любого числа $n$ функция принимает большие $n$ значения.

kot-obormot в сообщении #1485476 писал(а):

а есть ли какой-то стандартный алгоритм нахождения области значений произвольной $f(x)$?

В общем случае - нету. Даже для гораздо более простой задачи, когда функция задана формулой, не содержащей $x$ (и соответственно функция равна константе).

[kot-obormot]

mihaild в сообщении #1485477 писал(а):

А вот это нужно как-то обосновать - например показать, что для любого числа $n$ функция принимает большие $n$ значения.

То есть нужно доказать от противного, что не существует верхней грани?

Предположим, что существует такое $M$, что $g(x)=\sqrt{x^2 + x}<M$ для любого $x$ из области определения. Но тогда $g(M)=\sqrt{M^2+M}>\sqrt{M^2}= M$ для всех $M>0$. То, есть пришли к противоречию. Правильно?

[FEBUS]

Не надо делать из мухи слона.
$0 < a^t \leqslant a^0=1\quad $ при $\quad 0 < a < 1; \quad t \geqslant 0 $