Энтропия фон Неймана для чистого состояния

[paladin17]

Здравствуйте.

Энтропия фон Неймана чистого квантового состояния всегда нулевая, это я знаю.
Но вот у меня в одной из задач (не важно, какой) после многочисленных преобразований с логарифмами матриц и т.п. получилось конечное выражение для энтропии фон Неймана вида
$S=- \operatorname{Tr}(\ln \rho)$,
где $\rho$ - матрица плотности некоторого чистого состояния.
Так вот: я не очень понимаю, равняется ли это выражение нулю.
По определению энтропии она равна
$- \operatorname{Tr} (\rho \ln \rho)$,
и если сюда поставить чистое $\rho$, то она обнуляется. И сомнения мои заключаются в отличиях этих двух выражений.

Мой ответ на мой же собственный вопрос: да, энтропия и в первом выражении тоже будет нулевой хотя бы в силу идемпотентности матрицы плотности (т.к. $\rho^2 = \rho$, то есть итоговое выражение равно удвоенному самому же себе, а такое возможно только для нуля). Но, как я и говорил, есть некоторые сомнения. Хотелось бы, чтобы кто-нибудь сведущий подтвердил мой ответ.

[Slav-27]

paladin17 в сообщении #1485406 писал(а):

получилось конечное выражение для энтропии фон Неймана вида
$S=- \operatorname{Tr}(\ln \rho)$,
где $\rho$ - матрица плотности некоторого чистого состояния.
Так вот: я не очень понимаю, равняется ли это выражение нулю.

Нет, конечно, напишите матрицу плотности в явном виде (в ортонормированном базисе, первый вектор которого -- ваше состояние) и попробуйте это посчитать -- увидите, в чём проблема.

[paladin17]

Slav-27 в сообщении #1485417 писал(а):

paladin17 в сообщении #1485406 писал(а):

получилось конечное выражение для энтропии фон Неймана вида
$S=- \operatorname{Tr}(\ln \rho)$,
где $\rho$ - матрица плотности некоторого чистого состояния.
Так вот: я не очень понимаю, равняется ли это выражение нулю.

Нет, конечно, напишите матрицу плотности в явном виде (в ортонормированном базисе, первый вектор которого -- ваше состояние) и попробуйте это посчитать -- увидите, в чём проблема.

Ну получится нечто вроде (1, 0, 0), как я понимаю, и логарифм в двух случаях из трёх будет неопределён. Так, что ли?
И тогда само выражение тоже не определено?

[Slav-27]

paladin17 в сообщении #1485418 писал(а):

и логарифм... будет неопределён. Так, что ли?

Да, то есть вы точно где-то ошиблись.

[paladin17]

Slav-27 в сообщении #1485419 писал(а):

paladin17 в сообщении #1485418 писал(а):

и логарифм... будет неопределён. Так, что ли?

Да, то есть вы точно где-то ошиблись.

A Вы можете мне объяснить, что поменяется в случае "обычного" чистого состояния, энтропия которого точно так же и выглядит (во всяком случае относительно того, что стоит под логарифмом)?
Я к тому, что там просто говорят, что она нулевая, и никого эти нули не смущают.

[Slav-27]

$\lim\limits_{x\to +0}x\ln x=0$, $\lim\limits_{x\to +0}\ln x=-\infty$.

-- 02.10.2020, 00:21 --

Поэтому функция $\rho\ln\rho$ единственным образом непрерывно продолжается с естественной области определения (множество матриц плотности, не имеющих нулевого собственного зачения) на множество всех матриц плотности, и это продолжение обозначают так же.

UPD: если допускать бесконечные значения, то функция $\operatorname{Tr}\ln\rho$ тоже однозначно продолжается по непрерывности на все матрицы плотности, но она принимает значение $-\infty$ на любой матрице плотности с нулевым собственным значением. Поэтому можно считать, что $-\operatorname{Tr}\ln\rho=+\infty$ для чистого состояния. Но ни в коем случае не $0$.

[paladin17]

Slav-27 в сообщении #1485428 писал(а):

$\lim\limits_{x\to +0}x\ln x=0$, $\lim\limits_{x\to +0}\ln x=-\infty$.

-- 02.10.2020, 00:21 --

Поэтому функция $\rho\ln\rho$ непрерывно продолжается с естественной области определения (множество матриц плотности, не имеющих нулевого собственного зачения) на множество всех матриц плотности, и это продолжение обозначают так же.

Спасибо, понял.