Условная вероятность в аксиоматике Колмогорова

[Paul Ivanov]

Добрый день.
Смущает следующий вопрос: почему определение условной вероятности, как
(1) $P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ (где вероятности в правой части равенства определяются относительно изначальной системы условий $S$)
равносильно следующему определению
(2) $P(A|B)=P(A\cap B)$ (где вероятность в правой части равенства определяется относительно системы условий $S \wedge B$)?
Иначе говоря почему с одной стороны (1) - это не теорема, а определение в аксиоматике Колмогорова (ведь насколько я понимаю, в отличие от классической аксиоматики, в аксиоматике Колмогорова это нельзя вывести из аксиом), то есть, если мы вообще используем P(A|B), то и вычисляться это понятие должно исключительно по формуле (1), а с другой стороны, когда речь заходит о задачах, достаточно абстрактных, чтобы вписаться в теорию вероятности по Колмогорову, мы позволяем себе перейти к формуле (2), то есть предполагаем, что событие B - это дополнительное условие или иначе говоря оно уже произошло.
Насколько я понимаю, вполне очевидна эквивалентность (1) и (2) в плане экспериментального подтверждения. Но почему тогда эквивалентность (1) и (2), как утверждение, не входит в аксиоматику Колмогорова, ведь насколько я понимаю эту эквивалентность нельзя вывести из аксиом Колмогорова и даже введение формулы (1) как аксиомы (некоторые так и делают, как я понял из википедии) никак не устанавливает эту эквивалентность.
И в то же время теория вероятности использует эту эквивалентность вовсю и везде.
Также интересно, есть ли сформулированные модели вероятности, в которых соотношение $\frac{P(C)}{P(D)}$ (где $C \cup D \subset B$ и $C\cap D = \varnothing$) различно в системах условий $S$ и $S \wedge B$ при некоторых $S, C, D, B$?
Спасибо

[mihaild]

Paul Ivanov в сообщении #1484807 писал(а):

где вероятность в правой части равенства определяется относительно системы условий $S \wedge B$

Что такое "вероятность относительно системы условий"? (И что вообще такое "система условий"?)

[Paul Ivanov]

Понятие системы условий в данном случае не играет роль термина в теории вероятности, а лишь интуитивно более понятным образом способствует мне изложить вопрос. Но если строго, то задать систему условий для алгегбры множеств (событий), значит задать вероятность каждого события в некотором соответствии с аксиоматикой Колмогорова. Разные системы условий - разные распределения вероятностей.
Если же говорить про задание системы условий $S \wedge B$, то это в моем учебнике формулируется как задать вероятность каждого события при условии, что событие B уже произошло.
Если в таком ракурсе все равно не ясно, что я имею в виду, то я полностью переформулирую вопрос:
Почему законно отождествлять условную вероятность из определения $P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ с вероятностью события $A$ при условии, что событие $B$ уже произошло?

[ewert]

Paul Ivanov в сообщении #1484898 писал(а):

Почему законно отождествлять условную вероятность из определения $P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ с вероятностью события $A$ при условии, что событие $B$ уже произошло?

Потому что по определению. А вот почему определение разумно -- потому, что не противоречит классическому определению вероятности (когда есть множество равновероятных исходов).

[alisa-lebovski]

И потому что получается как предел условных относительных частот.

[arseniiv]

Paul Ivanov
Если что, условная вероятность $B$ при условии $A$ — это обычная вероятность некоторого $f(B)$ с точки зрения некоторого вероятностного пространства, специальным образом построенного по $A$ и исходному пространству, и также специально сконструированной «проецирующей» функции $f$ из исходного пространства в новое.

[Paul Ivanov]

ewert,
насколько я понимаю определение не может быть разумным или неразумным. Оно всегда только лишь определяет какое-либо имя. Допустим определить параллельность значит лишь выбрать среди множества пар объектов, некоторое подмножество, а свойства объектов соответствующих определению уже после выводятся из самого определения и никак не наоборот. Определить чётность целых чисел, значит выделить некоторое подмножество целых чисел и уже после этого выделения мы можем рассуждать о свойствах четных чисел. Пока объект не определен нельзя рассуждать о его свойствах, в частности о разумности.
Таким образом если мы определяем условную вероятность, то это лишь значит, что мы задаём способ вычисления значения по имени $P(A|B)$ через другие уже определённые понятия. Но в том то и дело, что из такого по сути пустого определения в совокупности с аксиомами и другими неопределяемыми и определяемыми понятиями никак нельзя вывести разумность или неразумность. А в частности нельзя доказать, что значение по имени ("условная вероятность" или $P(A|B)$ или "вероятность события A при условии что выполнено событие B") с таким определением может использоваться в конкретной ситуации, когда допустим событие B уже произошло.
Если всё равно кажется, что я создаю проблему из ничего, то попробую совсем кратко сказать:
Пока мы не определили С (понятие с именем "C"), нельзя его вычислить, но тут то и возникает дырка - мы смотрим на некоторую последовательность зависимых событий и в обход определения, по которому условная вероятность вычисляется только по одной формуле, говорим, что тут у нас участвует условная вероятность и вычисляем ее совершенно другим способом (как раз таки моделируем совершенно другую систему условий и после этого отождествляем некоторую вероятность с той самой условной вероятностью).
То есть вместо вычисления значения по имени: имя -> определение -> значение, мы вычисляем значение (в этот момент мы вообще не вспоминаем про условную вероятность), а потом делаем вывод (получается не основанный ни на чём кроме интуиции), что ситуация попадает под определение, тогда как определение вообще не имело никакого отношения к ситуации (хотя определяемое имя могло полностью совпадать с формулировкой ситуации, это всего лишь имя) и делаем вывод, что данное значение - это значение условной вероятности. Получается ровным счётом обратная ситуация - имя приписывается значению (значение ->? определение -> имя), что совершенно некорректно.
arseniiv, даже если так, всё равно получается, что мы определяем имя, но не ситуацию, так как ситуацию нельзя определять. А из этого не следует, что имя можно отождествить с ситуацией.

[пианист]

Paul Ivanov в сообщении #1484898 писал(а):

Почему законно отождествлять условную вероятность из определения $P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ с вероятностью события $A$ при условии, что событие $B$ уже произошло?

Если произошло - из всего пространства событий отрезается только $B$, поэтому, соответственно, от $A$ остается $A \cap B$, а чтобы в сумме получилась 1, нормируем делением на $P(B)$.

-- Вс сен 27, 2020 22:03:45 --

Вообще, нарисуйте картинку, все очевидно станет..

[ewert]

Paul Ivanov в сообщении #1484951 писал(а):

А в частности нельзя доказать, что значение по имени ("условная вероятность" или $P(A|B)$ или "вероятность события A при условии что выполнено событие B") с таким определением может использоваться в конкретной ситуации, когда допустим событие B уже произошло.

Вот в частности-то как раз можно (и нужно). Классическая вероятность определяется как отношение количества благоприятствующих исходов к количеству всех (по предположению равновероятных). Интерпретируется же она как предел процента успехов при многократных испытаниях. То, что такая интерпретация подтверждается практикой -- факт сугубо эмпирический. И потом при развитии теории выясняется (разные предельные теоремы), что и в теории всё согласуется.

Так вот. Что имеет смысл называть условной вероятностью? -- Естественно, ожидаемый процент успехов среди испытаний, в результате которых было зафиксировано событие $B$. Ну так ровно той дробью этот процент и описывается. Соответственно, и определять условную вероятность разумно именно той дробью.

Конечно, Вы можете предложить и какое-либо другое определение; скажем, квадрат той дроби. Однако назвать это разумным было бы крайне трудно, т.к. ничему наблюдаемому в эксперименте оно не соответствует.

[Paul Ivanov]

пианист, я прекрасно всё понимаю и без картинок, и интуитивно я согласен с таким определением условной вероятности, но я хочу убедиться в том, хватает ли аксиом для проведения тех основных выводов об условной вероятности или нет.
ewert, хорошо, давайте и вправду перейдём в русло классической вероятности (а рассуждать будем опираясь на аксиоматику Колмогорова). Пусть имеется три элементарных (равновероятных и несовместных) события $x,y,z$, $P(x \vee y \vee z)=1$. Тогда мы можем строго из аксиом вывести вероятность для любого события из поля событий. Пусть $A=(x \vee y)$, тогда $P(A)=2/3$ и это следует непосредственно из аксиом без всяких там картинок или лишь интуитивно понятных допущений.
Теперь вопрос: почему P(x|A)=1/2? (в данном случае $P(x|A)$ - это НЕ ИМЯ, а ситуация. Когда мы говорили, что $P(B|C)=\frac{P(B \cap C)}{P(C)}$, мы присваивали имени P() значение - функцию P(,) от двух аргументов, а не ситуации, потому что СИТУАЦИЮ НЕЛЬЗЯ ОПРЕДЕЛИТЬ). Почему после того, как $A$ произошло, $x$ и $y$ остаются элементарными? Почему не может быть такого, что после установления факта происшествия события $A$, $x$ как вдруг окажется вообще не может произойти?
Между прочим насколько я понимаю квантовую теорию вероятности часто интерпретируют как теорию, в которой знание меняет распределение вероятности.
Я прекрасно интуитивно понимаю, почему это верно. Данный вопрос имеет целью выяснить, КАК ЭТО СЛЕДУЕТ ИЗ АКСИОМ.

[arseniiv]

Аксиомы вероятностного пространства никак условной вероятности не касаются. И не обязаны?..

[пианист]

Paul Ivanov в сообщении #1485062 писал(а):

хочу убедиться в том, хватает ли аксиом для проведения тех основных выводов об условной вероятности

А что это за основные выводы об условной вероятности? Можно какой-то конкретный примерчик?
Непонятно, о чем речь.

[Paul Ivanov]

arseniiv, хорошо, в этом мне и хотелось убедиться. Но тогда на какую вообще аксиоматику опирается формула условной вероятности? Если она не опирается на определение (так как на определение нельзя опираться в данном случае), то чем расширяют аксиоматику Колмогорова, чтобы всё стало корректно?
пианист, я имел в виду как минимум те выводы о верности формулы условной вероятности для классической теории вероятности, которые основываются на нашем интуититивном понимании, что распределение вероятностей между элементарными событиями внутри события $A$, не меняется после происшествия этого события, а также обобщение таких интуитивных выводов на более общую картину бесконечных полей событий.

[mihaild]

Paul Ivanov в сообщении #1485312 писал(а):

Но тогда на какую вообще аксиоматику опирается формула условной вероятности?

Что значит "формула опирается на аксиоматику"?
Есть аксиоматика Колмогорова. Мы берем и в ней определяем новое понятие - "условная вероятность". Дальше мы, используя это определение и аксиомы вероятностного пространства, можем что-то про это понятие доказывать.

Paul Ivanov в сообщении #1485312 писал(а):

распределение вероятностей между элементарными событиями внутри события $A$, не меняется после происшествия этого события

Т.е. что-то вроде $\frac{P(A\cap B)}{P(A \cap C)} = \frac{P(B | A)}{P(C | A)}$? Это легко выводится из определения (если в знаменателях не нули, конечно).

[arseniiv]

Paul Ivanov в сообщении #1485312 писал(а):

Если она не опирается на определение (так как на определение нельзя опираться в данном случае)

Почему нельзя?

Возможно, у вас смешиваются определения, аксиомы и мотивация всего этого. И может быть много эквивалентных формулировок, «исполняющих» одну и ту же идею, но используемых та или другая по разным причинам. Говорят, иногда определение условной вероятности включают в аксиомы, но по мне это как-то странно, для определения вероятностного пространства это избыточно. А можно в принципе вообще не определять неусловную вероятность, оперируя только условными, но у всего есть свои минусы. (Например тогда может захотеться рассматривать как вероятностное пространство всё $\mathbb R$ (борелевскую сигма-алгебру с естественной мерой), но обычное определение такого не допускает, а если запретить брать множества бесконечной меры, то испортится сигма-алгебра.)