Показать сходимость или расходимость ряда

[VoprosT]

Добрый день, подскажите, пожалуйста, ход в задаче:

1. Если ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ с положительными членами сходится, то ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}A_n$, где $A_n = \sqrt{\sum\limits_{k=n}^{\infty}a_k} - \sqrt{\sum\limits_{k=n+1}^{\infty}a_k}$ тоже сходится, причём $a_n = o(A_n)$ при $n \to \infty$
2. Если ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ с положительными членами расходится, то ряд $\sum\limits_{n=2}^{\infty}A_n$, где $A_n = \sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}a_k} - \sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n-1}a_k}$ тоже расходится, причём $A_n = o(a_n)$ при $n \to \infty$

В первой задаче я рассмотрел общий член $A_n = \sqrt{\sum\limits_{k=n}^{\infty}a_k} - \sqrt{\sum\limits_{k=n+1}^{\infty}a_k}$, домножил и разделил на сопряжённое выражение, получил $A_n = \frac{a_n}{\sqrt{\sum\limits_{k=n}^{\infty}a_k} +\sqrt{\sum\limits_{k=n+1}^{\infty}a_k}}$. Таким образом $A_n \leqslant a_n$ при любом $n \in \mathbb{N}$, поэтому ряд сходится. Второй пункт про "о малое" получаю из того, что хвосты ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$, расположенные в знаменателе $A_n$, стремятся к нулю.

Во второй задаче поступил точно так же, сразу получил $A_n = o(a_n)$, потому что в знаменателе при $n \to \infty$ складываются два расходящихся ряда с положительными членами(сумма равна бесконечности). А вот как показать то, что он расходится?

[StaticZero]

VoprosT в сообщении #1483910 писал(а):

А вот как показать то, что он расходится?

Рассматривали частный случай $a_n = 1/n$?

[alisa-lebovski]

VoprosT в сообщении #1483910 писал(а):

А вот как показать то, что он расходится?

Просто выпишите последовательные суммы, там сокращается.

[nnosipov]

Здесь же в обоих случаях телескопическое суммирование, нет?

[VoprosT]

Всем спасибо!

[iifat]

StaticZero в сообщении #1483913 писал(а):

частный случай $a_n = 1/n$?

А что, этот ряд сходится?

VoprosT в сообщении #1483910 писал(а):

Таким образом $A_n \leqslant a_n$

Вот тут не понял. В знаменателе сумма двух бесконечно малых. С чего б такой вывод?

[VoprosT]

iifat в сообщении #1483923 писал(а):

VoprosT в сообщении #1483910 писал(а):

Таким образом $A_n \leqslant a_n$

Вот тут не понял. В знаменателе сумма двух бесконечно малых. С чего б такой вывод?

Они же бесконечно малые при $n \to \infty$, а при каждом фиксированном $n$ конкретные числа

[StaticZero]

iifat в сообщении #1483923 писал(а):

А что, этот ряд сходится?

VoprosT в сообщении #1483910 писал(а):

2. Если ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ с положительными членами расходится

Бывает полезно сразу придумать парочку примеров, подходящих под условия утверждений. Глядишь, и вопроса бы не возникло.

[tolstopuz]

VoprosT в сообщении #1483910 писал(а):

причём $a_n = o(A_n)$ при $n \to \infty$

Таким образом $A_n \leqslant a_n$ при любом $n \in \mathbb{N}$

Эти утверждения противоречат друг другу.

[ewert]

VoprosT в сообщении #1483958 писал(а):

iifat в сообщении #1483923 писал(а):

VoprosT в сообщении #1483910 писал(а):

Таким образом $A_n \leqslant a_n$

Вот тут не понял. В знаменателе сумма двух бесконечно малых. С чего б такой вывод?

Они же бесконечно малые при $n \to \infty$, а при каждом фиксированном $n$ конкретные числа

Вот именно поэтому неравенство -- в обратную сторону, поэтому следует отсюда только о-маленькое, но вовсе не сходимость.

Сходимость же -- да, из телескопичности (как и расходимость в п.2).

[VoprosT]

tolstopuz,ewert,
спасибо, я просто забыл, что эти числа в какой-то момент станут меньше единицы.