Добрый день! Решаю численно задачу (дифференциальное уравнение в частных производных 4 порядка - бигармоническое уравнение).
Для решения использую следующую разностную схему:
Пытаюсь заполнить матрицу системы размером
, где каждая строка -- это соответствующее уравнение, а столбцы -- это коэффициенты перед переменными..
Т.е. каждая строка матрицы -- уравнение с переменными
и т.д.
Возникла проблема именно программно, как в
эту матрицу заполнить циклически? Т.е. у меня каждый элемент матрицы
![$A[k][m]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/b/a/eba2572758fa4492ba4fd335945eebb182.png "$A[k][m]$")
,
-номер уравнения,
-- номер переменной. С номером уравнения еще ладно, а вот номер переменной
-- как получить этот номер. Сижу уже 2 день, не могу никак сдвинуться. Т.е. вопрос в следующем -- как системе разностных уравнений сопоставить матрицу коэффициентов?
Попробую объяснить простыми словами: вот у меня есть самое верхнее уравнение и для каждых
. Если расписывать например при фиксированных индексах, получится линейное уравнение относительно
. Понятно, что некоторые коэффициенты будут равны нулю. Я пытаюсь грубо говоря что сделать -- каждая строка матрицы
-- это каждое уравнение системы. А каждый столбец -- это коэффициент при соответствующей переменной. Так вот я не понимаю, как найти связь между позицией переменной
и номером столбца, где она должна стоять. Я например, пробую на самом простом случае найти эту закономерность, т.е. если взять
Ну вот например, при
самое верхнее уравнение будет только одно. Переменная
-- первая по счету в уравнении, потом
-- вторая и т.д.
Внизу прилагаю код того, как хотя бы я пытался заполнить матрицу коэффициентов системы для первого уравнения. Я просто не могу выявить закономерность между переменной
![$y[i][j]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/8/f/d8fb26bd3adcce20175c8f379158f1f182.png "$y[i][j]$")
и номером столбца, в которой она стоит.
//Начальные данные для задачи
TIP T, h_x, h_z, M, N, a, b;
cout << "Введите a = ";
cin >> a;
cout << "Введите b = ";
cin >> b;
cout << "Введите шаг по x-координате h_x =";
cin >> h_x;
cout << "Введите шаг по x-координате h_z =";
cin >> h_z;
int m = a / h_x ; // количество точек сетки по пространству
int n = b / h_z ; // количество точек сетки по времени
cout << "m = " << n << endl;
cout << "n = " << m << endl;
Matrix A((n+1)*(m+1), vector <TIP>((n + 1) * (m + 1))); // матрица системы
for (int i = 0; i <= m; i++)
{
for (int j = 0; j <= n; j++)
{
A[i][j] = 0.0;
}
}
Menu(); //вызов меню пользователя для выбора решаемой задачи
int selector;
cin >> selector;
vec X(n+1); // сетка по X
vec Z(m+1); // сетка по Z
vec B((m+1) * (n+1));
for (int i = 0; i <= n * m; i++)
{
B[i] = 0;
}
for (int i = 0; i <= m; i++)
{
X[i] = i * h_x;
}
for (int j = 0; j <= n; j++)
{
Z[j] = j * h_z;
}
cout << "Сетка по X:" << endl;
out_of_right_vector(X);
cout << endl;
cout << "Сетка по Z:" << endl;
out_of_right_vector(Z);
cout << endl;
cout << "Формирование матрицы системы - 1 этап" << endl;
for (int k = 0; k < (m - 3) * (n - 3) ; k++)
{
for (int i = 2; i <= (m - 2); i++)
{
for (int j = 2; j <= (n - 2); j++)
{
A[k][j + i ] = 20 / pow(h_x, 4);
A[k][j + i + 1 ] = -8 / pow(h_x, 4);
A[k][j + 1 + i ] = -8 / pow(h_x, 4);
A[k][j - 1 + i] = -8 / pow(h_x, 4);
A[k][i + 1 + j + 1 ] = 2 / pow(h_x, 4);
A[k][j + 1 + i -1 ] = 2 / pow(h_x, 4);
A[k][j - 1 + i - 1 ] = 2 / pow(h_x, 4);
A[k][j - 1 + i + 1 ] = 2 / pow(h_x, 4);
A[k][j + i + 2 ] = 1 / pow(h_x, 4);
A[k][j + 2 + i ] = 1 / pow(h_x, 4);
A[k][j + i - 2 ] = 1 / pow(h_x, 4);
A[k][j - 2 + i ] = 1 / pow(h_x, 4);
}
}
}
до 
. Соответственно, надо подобрать какую-то взаимно-однозначную зависимость между 
. Наиболее тривиальный вариант: 
или что-то подобное, причем его нельзя 
это и не очень нужно, а при больших значениях придется возиться с разреженными матрицами.
. Я в коде, который прикрепил в верхнем сообщении, ввел индекс 
четыре строки матрицы и коэффициенты стояли на своих позициях около соотв. переменной. Мне кажется, где то ![\[
\begin{array}{l}
i = 2,j = 2\,\,\left( {k = 0} \right) \\
\dfrac{{20}}{{h^4 }}y_2^2 - \dfrac{8}{{h^4 }}\left( {y_3^2 + y_2^3 + y_2^1 } \right) + \dfrac{2}{{h^4 }}\left( {y_3^3 + y_1^3 + y_1^1 + y_3^1 } \right) + \dfrac{1}{{h^4 }}\left( {y_4^2 + y_2^4 + y_0^2 + y_2^0 } \right) = 0 \\
i = 2,\,j = 3\,\,\left( {k = 1} \right): \\
\dfrac{{20}}{{h^4 }}y_2^3 - \dfrac{8}{{h^4 }}\left( {y_3^3 + y_2^4 + y_2^2 } \right) + \dfrac{2}{{h^4 }}\left( {y_3^4 + y_1^4 + y_1^2 + y_3^2 } \right) + \dfrac{1}{{h^4 }}\left( {y_4^3 + y_2^5 + y_0^3 + y_2^1 } \right) = 0 \\
i = 3,j = 2\,\,\left( {k = 2} \right): \\
\dfrac{{20}}{{h^4 }}y_3^2 - \dfrac{8}{{h^4 }}\left( {y_4^2 + y_3^3 + y_3^1 } \right) + \dfrac{2}{{h^4 }}\left( {y_4^3 + y_2^3 + y_2^1 + y_4^1 } \right) + \dfrac{1}{{h^4 }}\left( {y_5^2 + y_3^4 + y_1^2 + y_3^0 } \right) = 0 \\
i = 3,j = 3\,\,\left( {k = 3} \right): \\
\dfrac{{20}}{{h^4 }}y_3^3 - \dfrac{8}{{h^4 }}\left( {y_4^3 + y_3^4 + y_3^2 } \right) + \dfrac{2}{{h^4 }}\left( {y_4^4 + y_2^4 + y_2^2 + y_4^2 } \right) + \dfrac{1}{{h^4 }}\left( {y_5^3 + y_3^5 + y_1^3 + y_3^1 } \right) = 0 \\
\end{array}
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/1/1/1118c62b259525f67c28e950bd10ab7682.png "\[
\begin{array}{l}
i = 2,j = 2\,\,\left( {k = 0} \right) \\
\dfrac{{20}}{{h^4 }}y_2^2 - \dfrac{8}{{h^4 }}\left( {y_3^2 + y_2^3 + y_2^1 } \right) + \dfrac{2}{{h^4 }}\left( {y_3^3 + y_1^3 + y_1^1 + y_3^1 } \right) + \dfrac{1}{{h^4 }}\left( {y_4^2 + y_2^4 + y_0^2 + y_2^0 } \right) = 0 \\
i = 2,\,j = 3\,\,\left( {k = 1} \right): \\
\dfrac{{20}}{{h^4 }}y_2^3 - \dfrac{8}{{h^4 }}\left( {y_3^3 + y_2^4 + y_2^2 } \right) + \dfrac{2}{{h^4 }}\left( {y_3^4 + y_1^4 + y_1^2 + y_3^2 } \right) + \dfrac{1}{{h^4 }}\left( {y_4^3 + y_2^5 + y_0^3 + y_2^1 } \right) = 0 \\
i = 3,j = 2\,\,\left( {k = 2} \right): \\
\dfrac{{20}}{{h^4 }}y_3^2 - \dfrac{8}{{h^4 }}\left( {y_4^2 + y_3^3 + y_3^1 } \right) + \dfrac{2}{{h^4 }}\left( {y_4^3 + y_2^3 + y_2^1 + y_4^1 } \right) + \dfrac{1}{{h^4 }}\left( {y_5^2 + y_3^4 + y_1^2 + y_3^0 } \right) = 0 \\
i = 3,j = 3\,\,\left( {k = 3} \right): \\
\dfrac{{20}}{{h^4 }}y_3^3 - \dfrac{8}{{h^4 }}\left( {y_4^3 + y_3^4 + y_3^2 } \right) + \dfrac{2}{{h^4 }}\left( {y_4^4 + y_2^4 + y_2^2 + y_4^2 } \right) + \dfrac{1}{{h^4 }}\left( {y_5^3 + y_3^5 + y_1^3 + y_3^1 } \right) = 0 \\
\end{array}
\]")
![$\[
\Omega = \left[ {0,1} \right] \times \left[ {0,1} \right]
\]
$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/2/b/82bcf1a913afca90e41d8c07a502eadd82.png "$\[
\Omega = \left[ {0,1} \right] \times \left[ {0,1} \right]
\]
$")
, где шаг 
, т.е. в расчетной области 25 точек. Формально, у меня будет система из 25 уравнений с 25 неизвестными. Как ее решать -- это проблема отдельная. Пока я все-таки пытаюсь эту систему получить (а точнее матрицу системы). Ведь результатом ее решения будет вектор из 25 элементов. А дальше я уже смогу вытащить нужную мне информацию.
, можно будет начать подумывать о чем-то еще.
