Порекомендуйте литературу по функциональному анализу

[barmale-y]

Стоит задача разобраться с абстрактной задачей Коши-Ковалевской в шкалах банаховых пространств. Пробую читать Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу (содержит в приложении нужную теорему Нисиды-Неренберга), но понимаю что для меня пока сложновато. Порекомендуйте с чего начать, так что-бы попроще и покороче вехать в функциональный анализ относительно абстрактной задачи Коши-Ковалевской

[Brukvalub]

Напишите, какие понятия и термины вызвали у Вас затруднения, тогда будет легче дать Вам рекомендации.

[barmale-y]

Brukvalub писал(а):

Напишите, какие понятия и термины вызвали у Вас затруднения, тогда будет легче дать Вам рекомендации.

1. различие понятий: отображение, оператор, функционал, функция.

2. свойства непрерывной функции на компактном множестве

3. вообще, скачав статьи разных более современных авторов на тему абстрактной задачи Коши-Ковалевской вижу, что не понимаю моментов типа:
I(z)=\int_{a}^{b}\varphi(z,s)ds \quad \| I \| \leq |b-a| \| \varphi(z,s) \|_*
\| \varphi \| = \sup | \varphi(z) | + \sup \frac{|\varphi(z+\beta) -\varphi(z)|}{|\beta|^\alpha}
\| \varphi \|_* = \sup | \varphi(z,s) | + \sup \frac{|\varphi(z+\beta,s_1) - \varphi(z,s_2)|}{|\beta|^\alpha+|s_1-s_2|^\alpha}
т.к. \varphi лежит в пространстве с нормой \|.\|_*и при каждом
z удовлетворяет условию Гёльдера.

P.S. извиняюсь за делитанство, по образованию технарь

[Brukvalub]

Все перечисленные Вами вопросы относятся, скорее, не к функциональному, а к математическому анализу. Возьмите и почитайте какой-либо современный учебник анализа, затрагивающий начала теории функциональных пространств и т.п. Подойдет, скажем: Зорич В.А. — Математический анализ (том 2) 9 и его же т.1), Рудин У. — Основы математического анализа Кудрявцев Л.Д. — Курс математического анализа (т. 1) (и т.2, т.3).

[barmale-y]

Brukvalub писал(а):

Все перечисленные Вами вопросы относятся, скорее, не к функциональному, а к математическому анализу...

Спасибо! С компактностью, непрерывностью ... в первом приближении разобрался, осталось привыкнуть и понять глубже ...

Если не затруднит, можете направить :

(1)

Насчет п.3 я правильно понимаю что \varphi непрерывно, а значит
|I|\leq A|\varphi|, \quad A=const,
условие Гельдера имеет вид:
|\varphi(z+\beta,s_1)-\varphi(z,s_2)| \leq C|\beta|^\alpha + D|s_1-s_2|^\alpha, \quad C=const, \quad D=const,
просто имеет место
(\varphi(z,s_{1})-\varphi(z,s_{2}))/( s_{2}-s_{1}) = \int_0^1\varphi'(z,s_1+u(s_2-s_1))du

(2) как дальше выкручиваться

[Brukvalub]

barmale-y в сообщении #148112 писал(а):

Насчет п.3 я правильно понимаю что \varphiнепрерывно, а значит
|I|\leq A|\varphi|, \quad A=const,

Такие оценки интеграла не требуют непрерывности подинтегральной функции.

barmale-y в сообщении #148112 писал(а):

условие Гельдера имеет вид:
|\varphi(z+\beta,s_1)-\varphi(z,s_2)| \leq C|\beta|^\alpha + D|s_1-s_2|^\alpha, \quad C=const, \quad D=const,
просто имеет место
(\varphi(z,s_{1})-\varphi(z,s_{2}))/( s_{2}-s_{1}) = \int_0^1\varphi'(z,s_1+u(s_2-s_1))du

Это - верно.

barmale-y в сообщении #148112 писал(а):

(2) как дальше выкручиваться

Не понял вопроса.

[barmale-y]

Brukvalub писал(а):

...Такие оценки интеграла не требуют непрерывности подинтегральной функции.

принадлежность условию Гёльдера подынтегральной функции достаточно для такой оценки?

Brukvalub писал(а):

Не понял вопроса.

как получить
\sup\frac{|I(z+\beta)-I(z)|}{|\beta|^\alpha} \leq M \sup\frac{|\varphi(z+\beta,s_1)-\varphi(z,s_2)|}{|\beta|^\alpha+|s_1-s_2|^\alpha}, \quad M=|b-a|

[Brukvalub]

Если вам нужно док-во вот этой оценки:

barmale-y в сообщении #148052 писал(а):

I(z)=\int_{a}^{b}\varphi(z,s)ds \quad \| I \| \leq |b-a| \| \varphi(z,s) \|_*

где

barmale-y в сообщении #148052 писал(а):

\| \varphi \|_* = \sup | \varphi(z,s) | + \sup \frac{|\varphi(z+\beta,s_1) - \varphi(z,s_2)|}{|\beta|^\alpha+|s_1-s_2|^\alpha}

, то это - тривиальная оценка, поскольку для всякой интегрируемой на отрезке функции верна оценка $\left| {\int\limits_a^b {f(x)dx} } \right| \le \left| {b - a} \right|\sup \left| {f(x)} \right|$, и \sup | \varphi(z,s) |\le \| \varphi \|_*.

[PAV]

Переношу из корневого раздела в "Помогите решить/разобраться"

[barmale-y]

Brukvalub писал(а):

то это - тривиальная оценка, поскольку для всякой интегрируемой на отрезке функции верна оценка $\left| {\int\limits_a^b {f(x)dx} } \right| \le \left| {b - a} \right|\sup \left| {f(x)} \right|$, и \sup | \varphi(z,s) |\le \| \varphi \|_*.

cогласен, но мне нужно понять (доказать) другое "очевидное" неравенство

\sup | I(z) | + \sup \frac{|I(z+\beta) -I(z)|}{|\beta|^\alpha} \leq |b-a| \left( \sup | \varphi(z,s) | + \sup \frac{|\varphi(z+\beta,s_1) - \varphi(z,s_2)|}{|\beta|^\alpha+|s_1-s_2|^\alpha}\right)

[Brukvalub]

А какое альфа (в каком интервале значений оно меняется)?

[barmale-y]

Brukvalub писал(а):

А какое альфа (в каком интервале значений оно меняется)?

\alpha\in(0,1) - показатель в условии Гёльдера

[Lyoha]

Касательно литературы очень рекомендую начинать с книг Люстерника, Соболева и Колмогорова, Фомина. Обе читаются как художественная литература. Первая полезнее для осознания пространств, операторов и всего прочего. Вторая хорошо излагает теорию функций и соответствующих пространств.

[ewert]

М.Рид и Б.Саймон, "Методы современной математической физики", т. 1-й (функциональный анализ), хотя и остальные весьма неплохи.

Впрочем, не такой и уж современной -- издавалась лет тридцать назад (на рубеже восьмидесятых). Так что -- если удастся найти.

А книжка симпатичная -- строгая, при этом лаконичная, и при этом вовсе не сухая, акценты постоянно ставятся больше на существо дела, чем на формальности.