Две трубки

[lel0lel]

В полом тонкостенном цилиндре массой $m_1$ и радиусом $R_1$ размещён второй полый тонкостенный цилиндр массой $m_2$ и радиусом $R_2<R_1$; длины цилиндров равны, оси параллельны. Система размещена на горизонтальной плоскости в однородном поле тяжести. В начальный момент времени расстояния от центров цилиндров до плоскости равны $R_1$ и $R_2$, что соответствует наименьшей потенциальной энергии системы. Центру масс внутреннего цилиндра сообщают горизонтальную скорость $\vec{v}_0$ перпендикулярную его оси, и система приходит в движении. Считая что модуль начальной скорости достаточно мал опишите движение системы (найдите законы движения) если:
a) и плоскость и цилиндры гладкие;
b) между внешним цилиндром и плоскостью проскальзывания нет, остальные поверхности гладкие;
с) между цилиндрами проскальзывания нет, а плоскость гладкая;
d) между всеми поверхностями проскальзывания нет.

[fred1996]

lel0lel
Насчёт беспроскальзывания требуется уточнение. Вы не можете сообщить начальную скорость внутреннему цилиндру без проскальзывания. Все-таки его придётся закрутить с $\omega=\frac{v_0}{R_2}$

[pogulyat_vyshel]

fred1996 в сообщении #1481970 писал(а):

Насчёт беспроскальзывания требуется уточнение.

не требуется

-- 04.09.2020, 11:31 --

спойлер

(Оффтоп)

Массу большой трубки буду обозначать за $M$, радиус -- за $R$, соответственно для малой -- $m,r$.
Через $\psi$ обозначим угол поворота большой трубки, через $x$ -- абсциссу центра большой трубки. Назовем этот центр $A$.
Центр малой трубки назовем $B$.
Угол поворота малой трубки -- $\gamma$
$\varphi$ -- угол между вертикалью и прямой $AB$ выберем так, что потенциальная энергия системы равна $V=-mg(R-r)\cos\varphi$.

$$T=\frac{1}{2}M\dot x^2+\frac{1}{2}MR^2\dot\psi^2+\frac{1}{2}mr^2\dot \gamma^2+$$

$$+\frac{1}{2}m\Big(\dot x^2+2\dot x\dot \varphi(R-r)\cos\varphi+(R-r)^2\dot\varphi^2\Big).$$

Лагранжиан системы: $L=T-V$. В случае a) это система с 4 степенями свободы. В остальных случаях надо дописывать связи и подставлять их в лагранжиан.

Рассмотрим случай a) подробнее. Переменные $\psi,x,\gamma$ являются циклическими, и понижая порядок по Раусу, мы получим систему с одной степенью свободы на переменную $\varphi$. Думаю, что в оставшихся случаях задача тоже интегрируется.

Условия непроскальзывания одного цилиндра по другому: $\varphi(R-r)+\gamma r=\psi R$

[lel0lel]

fred1996
Вы правы, что в этом случае у цилиндра будет угловая скорость, только об этом не обязательно писать в условии. Ведь если указано, что нет проскальзывания, то его нет и в начальный момент времени, отсюда сразу получаем связь между скоростями. Поэтому достаточно задать только скорость центра масс.

Лагранжиан у меня такой же как у pogulyat_vyshel. В случае a) получится, что координата $\varphi$ изменяется по гармоническому закону. В других случаях, по-видимому, тоже, но аккуратно пока не считал.

[pogulyat_vyshel]

Топологически фазовый портрет в осях $\varphi,\dot\varphi$ такой же как у математического маятника, но это не математический маятник, траектории проходятся иначе

[fred1996]

Да, пожалуй в лоб школьным методом можно решить только с полным проскальзываним.

[fred1996]

Случай а.
Школьный метод.
Он сводится к тому, что надо найти подходящую переменную, которая при малых отклонениях ведёт себя гармоничным образом.
Классический случай масса на Гуковский пружине.
Общая энергия $E=\frac{1}{2}kx^2+\frac{1}{2}mx\dot{}^2$
Решением этого уравнения является синусоида с угловой частотой $\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$
Остаётся привести нашу систему к подходящему виду.
Решаем в системе отсчёта покоящегося (по горизонтали) центра масс.
За обобщенную координату примем угол между вертикалью и линией, соединяющей центры цилиндров $\varphi $
Тогда при начальной относительной скорости цилиндров $V$ Скорость малого цилиндра будет $V\frac{m_1}{m_1+m_2}$ , а большого $-V\frac{m_2}{m_1+m_2}$
А полная кинетическая энергия $K=\frac{1}{2}\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}R_2^2\varphi\dot{}^2$
Через четверть периода она полностью переходит в потенциальную энергию малого цилиндра $P=\frac{1}{2}m_2gR_2\varphi^2$
То есть по аналогии с пружинным маятником получаем угловую частоту: $\omega=\sqrt{\frac{m_1+m_2}{m_1}\frac{g}{R_2}}$
А амплитуда угла будет $\Phi=\sqrt{\frac{m_1}{m_1+m_2}}\frac{V}{\sqrt{gR_2}}$
Отсюда находим горизонтальные амплитуды колебаний центров цилиндров относительно центра масс:
$A_1=\frac{m_2}{m_1+m_2}R_2\Phi$ и $A_2=\frac{m_1}{m_1+m_2}R_2\Phi$
Центр масс соответственно движется равномерно со скоростью $\frac{m_2}{m_1+m_2}V$

В общем окончательный ответ таков:
Для малых колебаний центр большого цилиндра движется по формуле
$X=V\frac{m_2}{m_1+m_2}t - \frac{m_2}{m_1+m_2}\sqrt{\frac{m_1}{m_1+m_2}}\sqrt{\frac{R_2}{g}}V \sin(\omega t)$
Малый цилиндр колеблется внутри большого по формуле
$\varphi=\sqrt{\frac{m_1}{m_1+m_2}}\frac{V}{\sqrt{gR_2}}\sin(\omega t)$
Где $\omega=\sqrt{\frac{m_1+m_2}{m_1}\frac{g}{R_2}}$

Забыл сказать, что цилиндры движутся без вращений, поскольку все силы проходят через их центры и не создают моментов.

[pogulyat_vyshel]

у меня получилось, что угол $\varphi$ колеблется с частотой

$$\omega^2=\frac{g}{R-r}\Big(1+\frac{m}{M}\Big)$$

-- 06.09.2020, 12:27 --

fred1996 в сообщении #1482176 писал(а):

Забыл сказать, что цилиндры движутся без вращений, поскольку все силы проходят через их центры и не создают моментов.

сие зависит от начальных условий

[fred1996]

pogulyat_vyshel
На суть происходящего в пункте а. Вращения никак не влияют. Я просто специально акцентировал на этом внимание, поскольку может может показаться, что малый цилиндр таки вращает большой. Ведь он создаёт момент вокруг оси, проходящей через основание большого цилиндра.
Насчёт угловой частоты вы правы. Потенциальная энергия конечно же будет $\frac{1}{2}m_2g(R_2-R_1)\varphi^2$ в обозначениях TC.

[fred1996]

Кстати, вариант с тоже решается достаточно просто школьным методом.
Поскольку кинетическая энергия в результате зависит всего от одной переменной.
Опять перейдём в систему координат центра масс

Условие покоя центра масс
$V_1=\frac{m_2}{m_1+m_2}V$ и $V_2=\frac{m_1}{m_1+m_2}V$

Очевидно, что угловые скорости вращения цилиндров определяются с точностью до связанных констант. Нам выгоднее всего определить их так, чтобы в верхней точке малого цилиндра все мгновенно замерло. То есть чтобы вращения тоже прекратились. Чтобы свести задачу к стандартному каноническому виду.
Далее, поскольку силы трения между цилиндрами это единственные силы, изменяющие их угловые скорости вращения, то в нижней точке имеем:
$m_1R_1\omega_1=m_2R_2\omega_2$

Остаётся выписать условие непроскальзывания цилиндров в нижней точке:
$V_1-\omega_1R_1=\omega_2R_2-V_2$

В результате для угловых скоростей в нижней точке получаем:

$\omega_1=\frac{m_2}{m_1+m_2}\frac{V}{R_1}$ и $\omega_2=\frac{m_1}{m_1+m_2}\frac{V}{R_2}$

Остаётся вычислить кинетическую энергию в нижней точке.
Что даёт $K=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}V^2$
Остаётся скорость выразить через нашу каноническую перемннную $\varphi$
$V=\varphi\dot{}(R_1-R_2)$

Окончательное выражение для энергии выглядит так:

$E=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}(R_1-R_2)^2\varphi\dot{}^2+\frac{1}{2}m_2g(R_1-R_2)\varphi^2$

То есть по сравнению с пунктом а угловая частота уменьшилась в $\sqrt{2}$
Может это и можно было заключить из общих соображений, но мне пока это не очевидно.

[lel0lel]

fred1996
Здорово, оказывается задачу можно объяснять школьникам. Буду использовать, спасибо.