Кривая с максимальной средней кривизной

[reterty]

Доброго времени суток, уважаемые форумчане! Решаю сейчас одну физическую задачу и мне понадобилось подобрать монотонно возрастающую на отрезке функцию (семейство функций), имеющую на нем максимальную среднюю кривизну. Заранее признателен за ваши рекомендации (предложения) выбора.

[svv]

Кривизна в этом смысле? Можно ли считать, что кривизна ориентированная? (со знаком; предпочтительный вариант). Как находится среднее? Интеграл от кривизны по $x$ (независимой переменной) или по $s$ (длине дуги кривой)?

[reterty]

svv в сообщении #1481334 писал(а):

Кривизна в этом смысле? Можно ли считать, что кривизна ориентированная? (со знаком; предпочтительный вариант). Как находится среднее? Интеграл от кривизны по $x$ (независимой переменной) или по $s$ (длине дуги кривой)?

Кривая плоская. Функция должна описывть кривые как с положительной так и с отрицательной кривизной (в зависимости от величины параметра в аргументе). Средняя кривизна берется по длине дуги кривой. Вариационная задача?

[svv]

Будем двигаться вдоль плоской кривой. Если кривизна со знаком (положительная, когда кривая поворачивает влево и отрицательная, когда кривая поворачивает вправо), такая кривизна очень просто интегрируется по длине дуги кривой. Интеграл просто равен углу, на который повернулся касательный вектор.

-- Вс авг 30, 2020 17:34:50 --

Например, интеграл от кривизны по дуге параболы $y=x^2$ от точки $(0,0)$ до точки $(2,4)$ можно посчитать в уме: $\arctg y'(2)-\arctg y'(0)$.

[alisa-lebovski]

Если значения функции на концах известны и она монотонно возрастает, то самый больший угол поворота - это $\pi/2$ (от горизонтальной до вертикальной касательной). А поскольку делим интеграл на длину кривой, минимум длины дает прямая. То есть решения нет, как в задаче topic142271.html

[Dmitriy40]

alisa-lebovski в сообщении #1481340 писал(а):

Если значения функции на концах известны и она монотонно возрастает, то самый больший угол поворота - это $\pi/2$ (от горизонтальной до вертикальной касательной). А поскольку делим интеграл на длину кривой, минимум длины дает прямая. То есть решения нет, как в задаче topic142271.html

Рассмотрим дугу окружности радиуса $R$, проходящую через точки $(0,0)$ и $(1,1)$, у неё постоянная кривизна $1/R$. Средняя же кривизна на этой дуге зависит лишь от $R$: $k=\dfrac{1}{2 R^2 \arcsin\left(\dfrac{1}{R \sqrt{2}}\right)}$ и имеет максимум при радиусе $R\approx 0.77$. Так что при малых радиусах увеличение кривизны пересиливает увеличение длины дуги.
Т.е. в классе дуг окружностей существует дуга максимальной средней кривизны между двумя фиксированными точками (без ограничения на вертикальность/горизонтальной касательных в конечных точках). И угол поворота оказывается вовсе не $\pi/2$.
Если хочется и касательных, то в малых окрестностях конечных точек можно "довернуть" кривую, это мало изменит длину кривой при увеличении средней кривизны. Наверное Вы имели в виду что для любой ненулевой окрестности конечных точек среднюю кривизну можно ещё увеличить уменьшив окрестности ...

[reterty]

Я постараюсь изложить физическую сущность проблемы, авось, у кого-то появятся полезные идеи. Пусть имеется горка с криволинейным профилем, описываемым монотонной функцией $y(x)$ (для простоты считаем что функция не имеет и точек перегиба, т.е. кривизна не меняет знак). Будем считать, что высота и длина горки (по горизонтали) есть фиксированные величины. Начальная скорость тела на вершине равна нулю и оно начинает соскальзывать (считаем что начальный тангенс угла наклона больше коэффициента трения скольжения). При отсутствии трения конечная скорость на выходе с горки одна и та же. При наличии трения скольжения ситуация кардинально меняется. Движение на выходе любого шероховатого вогнутого профиля дает скорость меньшую, чем при движении вдоль шероховатой наклонной плоскости, поскольку возрастают как сила нормальной реакции и сила трения (за счет центростремительного ускорения) так и длина траектории. Но для выпуклой горки сила нормальной реакции несколько уменьшается и какой-то профиль, по идее, должен давать локальный максимум конечной скорости. Я составил и решил соответствующий диффур. Конечная скорость выражается в квадратурах через неизвестную функцию $y(x)$. Тепрь варьированием этой функции пытаюсь поймать этот экстремум....

[alisa-lebovski]

Dmitriy40 в сообщении #1481349 писал(а):

Т.е. в классе дуг окружностей существует дуга максимальной средней кривизны между двумя фиксированными точками

Я думаю, и в других разных классах есть решения, а без ограничений нет.

Dmitriy40 в сообщении #1481349 писал(а):

в малых окрестностях конечных точек можно "довернуть" кривую, это мало изменит длину кривой при увеличении средней кривизны. Наверное Вы имели в виду что для любой ненулевой окрестности конечных точек среднюю кривизну можно ещё увеличить уменьшив окрестности

Ну да, можно построить последовательность функций, по которой средняя кривизна стремится к верхней грани ($\pi/2$, деленное на длину отрезка прямой, соединяющей точки), но эта верхняя грань не достигается, так что решения нет.

[Dmitriy40]

(Оффтоп)

alisa-lebovski в сообщении #1481357 писал(а):

но эта верхняя грань не достигается, так что решения нет.

Даже если точного решения нет, в практических задачах часто достаточно наличия приближённых решений (а тем более точной верхней грани), а тем более сколь угодно близких решений. И можно ставить уже другие вопросы оптимизации этих решений по самым разным критериям.

[wrest]

reterty в сообщении #1481356 писал(а):

Но для выпуклой горки сила нормальной реакции несколько уменьшается и какой-то профиль, по идее, должен давать локальный максимум конечной скорости.

Для выпуклой горки, кмк, может случиться так, что груз оторвется от поверхности горки. Интуитивно кажется, что чем раньше (по высоте) оторвется, тем меньше будут потери. Но вы наверное хотите чтобы груз не отрывался. Тогда на горизонтальный габарит берем наклон горки, тангенс которого почти равен коэффициенту трения (чтобы только-только двигалось), а потом резко вниз (почти вертикально чтобы еле-еле касалось). Тогда, если я не напутал в геометрии, то $\sup v=\sqrt{2g(h-\gamma l)}$, где $h$ габаритная высота горки, $l$ - габаритная длина горки, $\gamma$ - коэффициент трения, $v$ - модуль конечной скорости. Но по первому колену горки груз будет двигаться бесконечно долго В этом смысле -- решения нет.
Заодно, видно что при $h\le \gamma l$ выпуклая горка не существует (при $h=\gamma l$ горка прямая).

[Geen]

reterty в сообщении #1481356 писал(а):

считаем что функция не имеет и точек перегиба

reterty в сообщении #1481356 писал(а):

для выпуклой горки

Это как?

[reterty]

wrest в сообщении #1481370 писал(а):

...Тогда, если я не напутал в геометрии, то $\sup v=\sqrt{2g(h-\gamma l)}$, где $h$ габаритная высота горки, $l$ - габаритная длина горки, $\gamma$ - коэффициент трения, $v$ - модуль конечной скорости. Но по первому колену горки груз будет двигаться бесконечно долго В этом смысле -- решения нет.
Заодно, видно что при $h\le \gamma l$ выпуклая горка не существует (при $h=\gamma l$ горка прямая).

Ваше выражение годится лишь для предела очень малых текущих скоростей. В общем случае в выражение для силы нормальной реакции опоры "влазит" мгновенная скорость и текущий радиус кривизны.

[wrest]

Dmitriy40 в сообщении #1481368 писал(а):

а тем более сколь угодно близких решений

Как мне кажется, имеется в виду, например, что кратчайшей строго выпуклой кривой между двумя точками не существует, т.к. эта кривая -- прямая. Но точная нижняя грань множества длин всех выпуклых кривых проведенных через две точки существует - это длина отрезка, соединяющего точки.

[reterty]

Geen в сообщении #1481375 писал(а):

reterty в сообщении #1481356 писал(а):

считаем что функция не имеет и точек перегиба

reterty в сообщении #1481356 писал(а):

для выпуклой горки

Это как?

Например, горка в виде полусферы

[wrest]

reterty в сообщении #1481377 писал(а):

В общем случае в выражение для силы нормальной реакции опоры "влазит" мгновенная скорость и текущий радиус кривизны.

И условие её (силы нормальной реакции) положительности, если вы не хотите чтобы груз отрывался от горки.