Связь между асимптотикой ариф. функции и ее вер. харак-ми

[alisa-lebovski]

vicvolf в сообщении #1480843 писал(а):

Хорошо, тогда я правильно записал:

Да, правильно, хотя тоже можно придраться. Вы все-таки попробуйте доказать строго.

[vicvolf]

alisa-lebovski в сообщении #1480561 писал(а):

vicvolf, Вы можете доказать, что если $x_n\to 0$, $n\to\infty,$ то

$$\frac{1}{n}\sum_{m=1}^n x_m\to 0,\quad n\to\infty?$$

Это задачка для студента 1-ого курса. А я немного постарше :)

alisa-lebovski в сообщении #1480881 писал(а):

Да, правильно, хотя тоже можно придраться.

Давайте займемся более интересным.

[Otta]

vicvolf в сообщении #1480891 писал(а):

Это задачка для студента 1-ого курса. А я немного постарше :)

Кому-то тут недавно полфорума объясняло, что такое О большое и о маленькое, и какие действия с ними делать можно, а какие нельзя. Обосновывайте.
Как нам говорили (на первом курсе), то что очевидно, можно доказать.

Смотрите, что Вы по сути где-то там делаете.

Вы пишете

$$\sum_{k=1}^n\ln (1+o(1))= n o(1)$$

--базу кстати не пишете, о малые всегда при какой-то базе -- а это грубое нарушение. Давайте смотреть.

$$\sum_{k=1}^n\ln (1+\frac 1k)= no(1)$$

Но первое слагаемое суммы слева равно $\ln (1+1)$, единица там константа. Как и во втором слагаемом. И в третьем. Они, константы, к нулю не стремятся.

Конечный результат, возможно, и верен. Неверно обоснование. И Вам уже несколько страниц мы это пытаемся сказать. В том числе с прямым указанием на одну из ошибок:

Otta в сообщении #1480227 писал(а):

Ну это уже не говоря о том, что применение эквивалентности для младших слагаемых совершенно необоснованно.

Обосновывайте.

[Alexandr Gavrichenko]

alisa-lebovski в сообщении #1480561 писал(а):

если $x_n\to 0$, $n\to\infty,$ то

$$\frac{1}{n}\sum_{m=1}^n x_m\to 0,\quad n\to\infty$$

$\forall \;\varepsilon_1 = \varepsilon/2 > 0$

$\exists N \quad \forall \; n > N \quad|x_n| < \varepsilon_1$

$\frac{1}{n}\sum_{m=1}^n x_m = \frac{1}{n}\sum_{m=1}^N x_m + \frac{1}{n}\sum_{m=N+1}^n x_m$

$\exists \; N_1 > N \quad\forall \;n > N_1 \quad \frac{1}{n}\left\lvert\sum_{m=1}^N x_m\right\rvert \leqslant \frac{1}{n}\sum_{m=1}^N {\left\lvert x_m \right\rvert}\leqslant \frac{const}{n} \leqslant \varepsilon_1 $

$\exists \; N_2 > N \quad\forall \;n > N_2 \quad \frac{1}{n}\left\lvert\sum_{m=N+1}^n x_m\right\rvert \leqslant \frac{1}{n}\sum_{m=N+1}^n {\left\lvert \varepsilon_1 \right\rvert}\leqslant \varepsilon_1$

$\forall\; n > max (N_1, N_2) \quad \frac{1}{n}\left\lvert\sum_{m=1}^n x_m\right\rvert \leqslant \varepsilon_1 + \varepsilon_1 = \varepsilon $

alisa-lebovski в сообщении #1480296 писал(а):

усреднение:

$$\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\frac{n}{(n-2k)^2+1}$$

не является контрпримером, так как

$\frac{n}{(n-2k)^2+1} = x(k, n)$ зависит от двух параметров, а $x_n$ от одного.

[vicvolf]

Otta в сообщении #1480895 писал(а):

Вы пишете

$$\sum_{k=1}^n\ln (1+o(1))= n \sum_{k=1}^no(1)$$

Извините, это Вы так пишите, а я так не пишу. Я даже так не пишу:

$$\sum_{k=1}^n\ln (1+o(1))= \sum_{k=1}^no(1).$$

[Otta]

vicvolf в сообщении #1480843 писал(а):

Хорошо, тогда я правильно записал:

$$=\frac {1} {n} \sum_{m=1}^n {(|-\gamma -\ln\ln(m)|+|\ln(1+o(1))|)}=\gamma+\frac {1}{n}\sum_{m=1}^n {(\ln\ln(m))}+o(1)?$$

Нет, пишете. Прямо вот здесь. В левой части. Только не замечаете этого. О малое от единицы при какой базе? $n$ куда-то стремится? Но у Вас выражение не зависит от $n$. Каждое слагаемое - постоянная по $n$ величина.

-- 27.08.2020, 11:44 --

vicvolf в сообщении #1480912 писал(а):

Я даже так не пишу:

Множитель $n$ у меня - ошибка редактирования. Исправила.

[vicvolf]

Alexandr Gavrichenko в сообщении #1480910 писал(а):

alisa-lebovski в сообщении #1480561 писал(а):

если $x_n\to 0$, $n\to\infty,$ то

$$\frac{1}{n}\sum_{m=1}^n x_m\to 0,\quad n\to\infty$$

$\forall \;\varepsilon_1 = \varepsilon/2 > 0$

$\exists N \quad \forall \; n > N \quad|x_n| < \varepsilon_1$

$\frac{1}{n}\sum_{m=1}^n x_m = \frac{1}{n}\sum_{m=1}^N x_m + \frac{1}{n}\sum_{m=N+1}^n x_m$

$\exists \; N_1 > N \quad\forall \;n > N_1 \quad \frac{1}{n}\left\lvert\sum_{m=1}^N x_m\right\rvert \leqslant \frac{1}{n}\sum_{m=1}^N {\left\lvert x_m \right\rvert}\leqslant \frac{const}{n} \leqslant \varepsilon_1 $

$\exists \; N_2 > N \quad\forall \;n > N_2 \quad \frac{1}{n}\left\lvert\sum_{m=N+1}^n x_m\right\rvert \leqslant \frac{1}{n}\sum_{m=N+1}^n {\left\lvert \varepsilon_1 \right\rvert}\leqslant \varepsilon_1$

$\forall\; n > max (N_1, N_2) \quad \frac{1}{n}\sum_{m=1}^n x_m \leqslant \varepsilon_1 + \varepsilon_1 = \varepsilon $

Спасибо! Но вот это я как раз не хотел делать. Я просто написал, что это следует из определения предела и достаточно.

-- 27.08.2020, 10:05 --

Otta в сообщении #1480913 писал(а):

vicvolf в сообщении #1480843 писал(а):

Хорошо, тогда я правильно записал:

$$=\frac {1} {n} \sum_{m=1}^n {(|-\gamma -\ln\ln(m)|+|\ln(1+o(1))|)}=\gamma+\frac {1}{n}\sum_{m=1}^n {(\ln\ln(m))}+o(1)?$$

Нет, пишете. Прямо вот здесь. В левой части. Только не замечаете этого. О малое от единицы при какой базе? $n$ куда-то стремится? Но у Вас выражение не зависит от $n$. Каждое слагаемое - постоянная по $n$ величина.

Я уже писал, что слева под суммой выражение в скобках зависит только от $m$. Как Вы предлагаете это по-другому записать?

[Otta]

vicvolf в сообщении #1480915 писал(а):

Как Вы предлагаете это по-другому записать?

Вам решать, Ваш текст, Вы хотите получить результат.

vicvolf в сообщении #1480915 писал(а):

Спасибо! Но вот это я как раз не хотел делать. Я просто написал, что это следует из определения предела и достаточно.

Знаете ли, весь анализ следует из определения предела.

[vicvolf]

Otta в сообщении #1480919 писал(а):

vicvolf в сообщении #1480915 писал(а):

Как Вы предлагаете это по-другому записать?

Вам решать, Ваш текст

Вы так активно меня критикуете! А когда дело доходит до конструктивных предложений, то их нет.

[Otta]

vicvolf
Видите ли, в этом разделе конструктивные предложения и их обоснования являются Вашей обязанностью. Вы тут так давно, что не можете об этом не знать.

[nnosipov]

vicvolf в сообщении #1480665 писал(а):

Пусть $x(t)$ - достаточно гладкая функция при $t \geq 1$, чтобы использовать формулу Эйлера-Маклорена.

Вы, похоже, не понимаете, что значит определить функцию.

vicvolf в сообщении #1480891 писал(а):

Это задачка для студента 1-ого курса. А я немного постарше :)

Дело-то не в возрасте, а в образовании. Кстати, сама задача из школьного учебника "Алгебра и начала анализа" под ред. Колмогорова (изд. 1982 года). Уверен, что Вы ее не решали тогда, когда нужно было решать подобные задачи. Иначе бы не стали писать чушь про формулу Эйлера-Маклорена.

vicvolf в сообщении #1480915 писал(а):

Я просто написал, что это следует из определения предела и достаточно.

Ну конечно, достаточно. Это довольно содержательное рассуждение. Кто же Вам на слово поверит, что Вы его аккуратно реализовали. Я вот точно не поверю.

[vicvolf]

nnosipov в сообщении #1480987 писал(а):

Дело-то не в возрасте, а в образовании. Кстати, сама задача из школьного учебника "Алгебра и начала анализа" под ред. Колмогорова (изд. 1982 года). Уверен, что Вы ее не решали тогда, когда нужно было решать подобные задачи.

Да, я закончил школу, когда этого учебника еще не было и изучал мат. анализ уже студентом. Не думаю, что изучение этого учебника дает односторонние преимущества:) Этот метод доказательства я знаю и это главное. А что и как доказывать в своей теме, как говорит уважаемая Otta, решать мне.

[nnosipov]

vicvolf в сообщении #1481020 писал(а):

Этот метод доказательства я знаю

Вы в очередной раз это не продемонстрировали.

[Otta]

vicvolf в сообщении #1481020 писал(а):

А что и как доказывать в своей теме, как говорит уважаемая Otta, решать мне.

Вы забыли про "Ваш результат". Если результат Вам не нужен - да, конечно, пишите что хотите и как хотите. Только при чем тут этот раздел?

[vicvolf]

Даже с определением асимптотики среднего значения арифметической функции возникают проблемы [см. Бухштаб], а тем более при определении асимптотик моментов, более высоких порядков.

Я предлагаю подойти к решению данной проблемы с другой стороны. Предпосылки данного подхода следующие.

1.Пусть имеются две последовательности случайных величин, которые имеют одно предельное распределение. Естественно, в этом случае, у данных последовательностей совпадают асимптотики среднего значения и моментов более высоких порядков.
2. Известно, что арифметическую функцию можно представить, как последовательность случайных величин. Если эта последовательность сходится к предельной функции распределения, которая совпадает с предельной функцией распределения другой последовательности случайных величин, то у арифметической функции и последовательности случайных величин совпадают асимптотики среднего значения и моментов более высоких порядков.
В этом случае можно построить последовательность случайных величин, у которых указанные характеристики определяются более просто. С другой стороны, данная последовательность случайных величин должна сходиться к той же функции распределения, что и арифметическая функция. Тогда по асимптотике характеристик данной последовательности можно более просто определить асимптотику характеристик арифметической функции.
3. Если две арифметические функции имеют одно предельное распределение, то у них совпадают асимптотики всех моментов.

Рассмотрение начнем с сильно аддитивных арифметических функций. Для каждого простого $p$ и натурального $a$ у сильно аддитивной функции $f(m)$ выполняется: $f(p^a)=f(p)$.

Следуя Постникову, для каждого простого $p(p \leq n)$ введем случайную величину $f^{(p)}(m)=f(p),p|m$ и $f^{(p)}(m)=0$ в противном случае.

Каждая случайная величина $f^{(p)}(m)$ принимает только два значения:$f^{(p)}(m)=f(p)$ с вероятностью $\frac {1}{n}[\frac {n}{p}]$ и $f^{(p)}(m)=0$ с вероятностью $1-\frac {1}{n}[\frac {n}{p}]$.

Среднее значение случайной величины $f^{(p)}(m)$ на интервале $[1,n]$ равно: $E[f^{(p)},n]=\frac {f(p)}{n}[\frac {n}{p}]$.

На основании сильной аддитивности: $f(m)=\sum_{p \leq n} {f^{(p)}(m)}$.

Поэтому среднее значение $f(m)$ на интервале $[1,n]$ равно:

$$E[f,n]=\sum_{p \leq n} {\frac {f(p)}{n}[\frac {n}{p}]}.(1)$$

При $n \to \infty$ на основании (1) получим асимптотику среднего значения сильно аддитивной арифметической функции:

$$E[f,n] \to \sum_{p \leq n}{\frac {f(p)}{p}}.(2)$$

Еще в работах Эрдеша рассматривалась формула (2) для случая, когда ряд $\sum_{p =2}^{\infty} {\frac {f(p)}{p}}$ -сходится. Случай, когда данный ряд расходится для сильно аддитивных функций был рассмотрен Тураном. Как говорилось выше, сильно аддитивная арифметическая функция $f(m)$ при выполнении условий $|f(p)| \leq 1$ и $E[f,n] \to \infty,n \to \infty$, сходится к нормальному распределению.

Таким образом, на основании (2), одним из условий сходимости арифметической функции $f(m),m=1,2,..,n$ при $n \to \infty$ к нормальному распределению является то, что ряд $\sum_{p=2}^{\infty}{\frac {f(p)}{p}}$ - расходится (3).

Конечно, условие (3) выполняется не для каждой сильно аддитивной арифметической функции, для которой $|f(p)| \leq 1$.

Например, рассмотрим сильно аддитивную арифметическую функцию $f(m)=|\ln \frac {\varphi(m)}{m}|$.

Функция $f(p)=|\ln \frac {\varphi(p)}{p[}|=|\ln(1-1/p|$ монотонно убывает с ростом $p$. Максимальное значение данной функции достигается при $p=2$ и равно $\ln2 <1$.

Учитывая, что $\ln(1-1/p)=1/p-1/p^2+O(1/p^3) \leq 1/p$, ряд $\sum_{p=2}^{\infty}{\frac {f(p)}{p}}=\sum_{p=2}^{\infty}{\frac {|\ln(1-1/p)}{p}} \leq \sum_{p=2}^{\infty}{\frac {1}{p^2}}$ - сходится.

Поэтому условие (3) для сильно аддитивной арифметической функции $f(m)=|\ln \frac {\varphi(m)}{m}|$ не выполняется.

Теперь рассмотрим другую сильно аддитивную арифметическую функцию - количество простых делителей натурального числа - $\omega(m)$.

Для данной функции выполняется $f(p)=\omega(p)=1$. На основании (2) асимптотика среднего значения $\omega(m)$ на интервале $[1,n]$ при $n \to \infty$:

$$E[\omega,n] \to \sum_{p \leq n}{\frac {f(p)}{p}}= \sum_{p \leq n}{\frac {1}{p}}=\ln\ln(n)+O(1),(4)$$

т.е. ряд $\sum_{p =2}^{\infty}{\frac {\omega(p)}{p}}$ - расходится. Как ранее говорилось, асимптотика дисперсии также равна: $D[\omega,n] \to \ln\ln(n)+O(1)$.

Таким образом, для сильно аддитивной функции $\omega(m)$ выполняются все условия сходимости к нормальному распределению с указанными характеристиками.

Определим для сильно аддитивной функции $\omega(m)$ центральные моменты более высоких порядков.

Для этого построим последовательность случайных величин, сходящуюся к нормальному распределению с аналогичным средним значением и дисперсией.


Рассмотрим случайную величину, имеющую распределение: $P(X_p=1)=1/p, P(X_p=0)=1-1/p$, где $p$ - простое число.

В этом случае $E[X_p]=1/p,D[X_p]=1/p-1/p^2$. Пусть $S_n=\sum_{p \leq n}{X_p}$, тогда $E[S_n]=\sum_{p \leq n}{1/p}=\ln\ln(n)+O(1)$.

Предположим, что случайные величины: $X_{p_1},X_{p_2},...$ независимы, тогда $D[S_n]=\sum_{p \leq n} {1/p -1/p^2}=\ln\ln(n)+O(1)$, так как ряд $\sum_{p=2}^{\infty}{1/p^2}$ -сходится.

Случайная величина $S_n$ являются суммой независимых и ограниченных случайных величин, поэтому на основании ЦПТ последовательность случайных величин $S_1,S_2,..$ сходится к нормальному распределению.

Арифметическая функция $\omega(m)$ является сильно-аддитивной и удовлетворяет условию сходимости к нормальному распределению, как было показано выше.

Предельные распределения последовательности случайных величин $S_1,S_2,..$ и арифметической функции $\omega(m)$ совпадают, так как совпадают асимптотики их средних значений и дисперсий, а следовательно совпадают асимптотики всех моментов более высоких порядков.

Определение асимптотик моментов более высоких порядков у данных арифметических функций по случайной величине $S_n$ значительно проще. Покажем это.

Определим центральный момент $k$ -ого порядка случайной величины $X_p$:

$$E[(X_p-1/p)^k]=(1-1/p)^k1/p+(0-1/p)^k(1-1/p)=1/p+O(1/p^2).$$

Теперь определим центральный момент $k$ - порядка случайной величины $S_n$:

$$\sum_{p \leq n} {1/p}+O(\sum_{p \leq n}(1/p^2)})=\ln\ln(n)+O(1),$$

так как ряд $\sum_{p =2}^{\infty}(1/p^2)}$ - сходится.

Отсюда следует, что у арифметической функции $\omega(m)$ асимптотики среднего значения и всех центральных моментов более высоких порядков совпадают и равны $\ln\ln(n)+O(1)$(5).