Вывод преобразований Лоренца. Р. Утияма.

[antonio.troitsky]

Помогите разобраться с выводом проеобразовния Лоренца в книге Р. Утияма "Теория относительности" параграф 3 (1979).

Выражение $x^2 - (ct)^2 = x'^2 - (ct')^2$ (3.3`). Получене как равенство интервалов при условии, что $y=y', z=z'$.

Примем теперь, что $x' = ax + bt; t' = fx + gt$ (3.4), где коэффициенты $a, b, f, g$ зависят только от скорости $v$ - скорости движения движущейся с.к. отностиельно неподвижной.

Далее автор получает уравнение движение начала коордиант O' в неподвижной с.к. S: $x = -(b/a)t$. Следовательно, $-b/a = v$ (3.5).

Подставляя формулы (3.4) в соотношение (3.3`), учитывая, что соотношение (3.3`) должно иметь место при произвольных $x, t$ и принимая во внимание формулу (3.5) определим неизвестные коэффциенты $a, b, f, g$.

У меня не выходит понять как из 3-х уравнений можно найти 4 неизвестных, даже при наличии условия (3.5).

Подскажите, как это проделывает автор?

[rustot]

Без условия симметрии прямых и обратных преобразований - того что обратные должны отличаться только знаком $v$ - данных для вывода недостаточно.

[svv]

antonio.troitsky в сообщении #1480722 писал(а):

У меня не выходит понять как из 3-х уравнений можно найти 4 неизвестных, даже при наличии условия (3.5).

Тут 4 условия: одно — это (3.5), а ещё три получаются из (3.3').

Подробно.

При линейном преобразовании координат (3.4)
$x' = ax + bt$
$t' = fx + gt$
при произвольных коэффициентах $a,b,f,g$ полином $x'^2-t'^2$, выраженный через координаты $x,t$, будет иметь вид
$Px^2+2Qxt+Rt^2$,
где
$P=a^2-f^2$
$Q=ab-fg$
$R=b^2-g^2$

Условие (3.3') — это требование, чтобы полином $x'^2-t'^2$ сохранял форму при преобразовании (3.4):
$x'^2-t'^2=x^2-t^2=1x^2+2\cdot 0xt+(-1)t^2$
Отсюда получаются сразу три условия:
$P=a^2-f^2=1$
$Q=ab-fg=0$
$R=b^2-g^2=-1$

Мораль: условие равенства функций часто даёт намного больше, чем условие равенства чисел.

[antonio.troitsky]

Я вроде бы также рассуждал, только почему-то у Вас не хватате коэффициента $c^2$.

svv в сообщении #1480730 писал(а):

$P=a^2-f^2$
$Q=ab-fg$
$R=b^2-g^2$

У меня получалось:
$P=a^2-c^2f^2=1$
$Q=ab-c^2fg=0$
$R=b^2-c^2g^2=-1$

[svv]

Да, забыл сделать оговорку. Часто в теор.физике используется система единиц, в которой $c=1$ (и тогда время и длина измеряются в одних единицах). Это упрощает запись формул.