Ряд из кубов

[gris]

В общем-то, задача известная и уже рассмотренная, но чуть-чуть изменённая.
Если ряд из ненулевых членов сходится, то сходится ли ряд из кубов, если начальный ряд:
а) знакопостоянный;
б) знакопеременный;
в) знакочередующийся.

[alisa-lebovski]

а) и в) сходятся.

[mihaild]

а) очевидно сходится (из сравнения)
б) не обязан. Возьмем ряд, в котором идет $\frac{1}{\sqrt[4]{n}}$, а дальше - $\sqrt[4]{n^3}$ членов $-\frac{1}{n}$. Сумма по каждому отрезку равна нулю. После возведения в куб от отрицательных членов останется сходящийся ряд, а от положительных - расходящийся
в) сводится к б) добавлением маленьких членов нужного знака

[alisa-lebovski]

Точно, про в) забыла требование монотонности.

[gris]

ну вот вся интрига и вскрылась
Просто мне показалось интересным, что очень много людей (по многолетним опросам!) интуитивно считают сходящийся знакочередующийся ряд монотонно убывающим. То есть признак Лейбница необходимым. Тысячи их, и даже суперматематики иногда проявляют минутную невнимательность .