Придумал школьную задачу

[mecak17]

Придумал задачу. Интересно, есть ли способы решить её проще, чем я.
Найти все целые $x$ такие, что
$x^5 + 25207 x^4 - 2530 x^3 - 7576 x^2 - 5057 x - 10046 = 0$

[kotenok gav]

У вас опечатка в условии, кажется. Если бы сумма коэффицентов была бы ноль, то был бы корень $x=1$. А у вас сумма равна $-1$.

[mecak17]

Опечатки нет.

[Утундрий]

mecak17 в сообщении #1480073 писал(а):

Найти все целые $x$ такие, что
$x^5 + 25207 x^4 - 2530 x^3 - 7576 x^2 - 5057 x - 10046 = 0$

Решений нет.

(Корни полинома)

$(-25207.100356622615500...)$ $(-0.78390962297962422346...)$ $(1.0000136919036058121...)$ $(-0.05787372315424061669... \pm i 0.71066321355333476687...)$

[mecak17]

Да, забить уравнение в мат. пакет - проще, чем моё решение.

[gris]

Тут можно рассуждением. Ну пробуем целые $-1;0;1$. Мимо. Для целых чисел больших двойки левая часть явно сильно положительна. Значит корень отрицательный и не маленький, чтобы задавить второй член. Откинем последние три и решим квадратное уравнение. Там подходящий корень в районе $-25207$. Ну уж проверим. Там не сильно положительно. Значит всё. Остаётся со злобой признать правоту предпредыдущего оратора. Кстати, считать точно ничего не нужно. Тут достаточно прикидок (в том числе о производной).
Ну, конечно, можно заметить, что $5023$ простое и к чему это?

[mecak17]

Так и знал, что будет решено оценками
У меня такие рассуждения - сумма коэффициентов равна $-1$, значит, у всех делителей многочлена(из многочленов над $\mathbb{Z}$) сумма коэффициентов делит -1(смотрим значение многочлена при $x = 1$). Значит, единственный возможный делитель многочлена первой степени это $x-2$($x$, очевидно, не подходит). Далее оценками получаем, что $2$ - не корень. А можно подобрать такой многочлен, чтобы оценками не решалось?

[gris]

Насчёт подбора примера. Можно заранее загадать корень, скажем, $x=-25207$ и поробовать поиграть с целыми коэффициентами в $(x+25207)(x^4+Ax^3+Bx^2+Cx+D)$.
Оценки работают потому, что коэффициент при $x^4$ достаточно больше остальных.

[pogulyat_vyshel]

(Оффтоп)

Придумать многочлен с заранее известными корнями, но так чтоб их было почти невозможно найти точно -- ума много не надо. Математики в этом тоже ни какой нет. Задача интересна тогда, когда она иллюстрирует какие-то фундаментальные идеи и методы..

[mecak17]

Я плохо сформулировал вопрос.
Я строил уравнение так, чтобы сработал мой метод его решения - заметить, что сумма всех коэффициентов равна (минус) единице(но коэффициенты брал случайные и не смог избежать возможности решить оценками).
Можно ли построить его так, чтобы мой метод работал, а оценки - нет? Здесь мне сложно самому пытаться подобрать примеры, т.к. сам оценками решать не умею(да, я понимаю, что это ужасно) и не понимаю, когда они работают.

-- 21.08.2020, 12:21 --

(pogulyat_vyshel)

С моим знанием математики сложно судить, какие идеи очень хорошие и глубокие, а какие нет.(ну, про свои идеи я, конечно, могу сказать почти наверняка, но это как-то депрессивно)

[Someone]

Совершенно не интересно. Целыми корнями многочлена с целыми коэффициентами могут быть только делители свободного члена. $10046=2\cdot 5023$, число $5023$ простое. Получаем делители $\pm 1,\pm 2,\pm 5023,\pm 10046$. Проверкой с помощью схемы Горнера убеждаемся, что они не корни. Для больших кандидатов до конца считать не надо, быстро становится ясно, что нуля не получится.

[mecak17]

Someone

Все уже поняли, что задача из 1-го сообщения не интересна. Прочитайте, что я написал в последнем сообщении, пожалуйста.
p.s. а лучше - всю тему.

[gris]

Вот пример: $x^7+2x^6-23x^5+14x^4+545x^3+348x^2-168x-720=0$

[mecak17]

gris

Спасибо!
А в таком виде задача интересная?

[gris]

Попробуйте обобщить Вашу теорему, которая пока не сформулирована, на полиномы с целыми коэффициентами и старшим единичкой, принимающими в единице значение в виде простого числа (со знаком).