n=1: тележка, n=2: тележка на тележке, n=3: третья тележка?

[serval]

Условие ВТФ: $a^n+b^n=c^n$ ставит две параллельные задачи:

1. Интерпретация числа возведённого в степень.
2. Интерпретация суммы (двух) чисел.

Ниже я покажу результат решения второй задачи в приложении к случаю $n=2$ , то есть, к пифагоровым тройкам, и сделаю предположение для случая $n=3$ . Для этого я сначала определю сумму двух чисел для случая $n=1$ .

1. Случай n=1
Пусть имеется сумма двух чисел $a+b=c$ , где $a<b$ . Будем называть слагаемое $a$ базой, а слагаемое $b$ транслятором и придадим им различный физический смысл, например: пусть $a$ - длина железнодорожной платформы, а $b$ - расстояние, которое она проходит со скоростью $v$ за время $t$ . Тогда их сумма $c=a+vt$ - это сумма длинны платформы и пройденного ей расстояния.

2. Случай n=2
Пусть имеются две платформы неподвижно расположенные так, как показано в верхней части рисунка: $D$ - длинная нижняя, синего цвета, и $U$ - короткая верхняя, жёлтого цвета.
Платформа $D$ имеет длину $l_d$ и радиус колёс $r_d$ , а платформа $U$ имеет длину $l_u$ и радиус колёс $r_u$ .
В момент времени $t_0$ обе платформы одновременно начинают движение в положительном направлении: платформа $D$ со скоростью $v_d$ по земле, а платформа $U$ со скоростью $v_u$ по платформе $D$ .
Обе платформы останавливаются в момент времени $t$ , когда правый край платформы $U$ достигает правого края платформы $D$ , как показано в нижней части рисунка.



Выразим величины $a,b$ и $c$, отмеченные на рисунке, через параметры платформ:

$a=l_d=l_u+v_u t$

$b=(v_u+v_d)\ t$

$c=l_u+(v_u+v_d)\ t$

Тогда, если параметры платформ имеют натуральные значения и удовлетворяют соотношению

$\displaystyle{\frac{l_d}{l_u}=2\cdot \frac{v_d}{v_u}+1}$

то величины $a,b$ и $c$ образуют пифагорову тройку $a^2+b^2=c^2$ .

Если, при этом, потребовать, чтобы колёса обеих платформ вращались с одинаковой угловой скоростью $\omega$ , то в указанном соотношении скорости платформ можно заменить радиусами их колёс

$\displaystyle{\frac{l_d}{l_u}=2\cdot \frac{r_d}{r_u}+1}$

3. Случай n=3
Способ представления суммы двух чисел $a+b$ движением одной платформы, а суммы двух квадратов чисел $a^2+b^2$ - суперпозицией движения двух платформ, позволяет предположить, что сумму двух кубов чисел можно представить суперпозицией движения трёх платформ.

Это не должно быть сложно, но я этого ещё не делал.

[Lia]

serval в сообщении #1480008 писал(а):

то величины $a,b$ и $c$ образуют пифагорову тройку $a^2+b^2=c^2$ .

А натуральность где?

[serval]

Вот:

serval в сообщении #1480008 писал(а):

если параметры платформ имеют натуральные значения

-- Чт авг 20, 2020 22:38:55 --

Извиняюсь, я забыл определить время $t$ :

$t=\text{НОД}\ (c-a,b)$

Тогда следовало в преамбуле сразу оговорить, что все без исключения величины, согласно условию ВТФ, принимают только натуральные значения.
Это моя небрежность, прошу прощения ещё раз.

[Lia]

serval
Случай $n=2$ не имеет никакого отношения к ВТФ, не надо на условие ссылаться.
Ну и перепишите это в другом виде, чтобы было ясно, то же это, что обычные пифагоровы тройки или нет.

[serval]

Lia в сообщении #1480050 писал(а):

Случай $n=2$ не имеет никакого отношения к ВТФ

В условии ВТФ значение степени $2$ упомянуто явно, а конкретные значения показателя степени $n$ являются частными случаями общего условия $a^n+b^n=c^n $ .

Поскольку переход от случая $n=1$ , когда это равенство выполняется для любой пары натуральных $a,b$ , к случаю $n=3$ , когда оно не выполняется ни для какой пары происходит через пограничный случай $n=2$ , когда множество всех таких пар распадается на два типа, для одного из которых равенство выполняется, а для другого - нет, я ищу два критерия:

1. единообразное представление суммы двух чисел независимо от значения показателя степени $n$ ,
2. параметр выполнения условия ВТФ для каждого конкретного значения $n$ .

Первую задачу для значений $n=1$ и $n=2$ я решил - единообразно описал их движением платформ и указал значимые для этого описания параметры. На основании полученного описания я сделал предположение относительно случая $n=3$ .
Также я нашёл параметр для случая $n=2$ , который приводит к типу натуральных пар $a,b$ для которых условие ВТФ выполняется.
Совместно эти описание и параметр дают инструмент для поиска их аналогов в случае $n=3$ .

Смысл этих действий в том, чтобы отобразить изменение параметра $n$ на изменение натуральных пар $a,b$ . Поэтому интересны не частные случаи $n>3$ , а единообразное представление случаев для значений $n$ равных $1,2$ и $3$ .

[Lia]

serval в сообщении #1480057 писал(а):

В условии ВТФ значение степени $2$ упомянуто явно, а конкретные значения показателя степени $n$ являются частными случаями общего условия $a^n+b^n=c^n $ .

Разные есть формулировки. Свою Вы не привели. Дальше пока не читаю.

[serval]

Я исхожу из этой формулировки:

Для любого натурального числа $n>2$ уравнение $a^n+b^n=c^n$ не имеет решений в целых ненулевых числах $a,b,c$ .

Результат для случая $n=2$ был получен мной в ходе попыток доказательства ВТФ и только для этой цели.

[Lia]

serval в сообщении #1480065 писал(а):

Для любого натурального числа $n>2$ уравнение $a^n+b^n=c^n$ не имеет решений в целых ненулевых числах $a,b,c$ .

Но в этой формулировке нет случая $n=2$.

[serval]

Я просто завершу доказательство ВТФ опираясь на случай $n=2$ , описанный мной выше. Это даже не требует вычислений.

Поставим на жёлтую платформу $U$ красную платформу $R$ и придадим всем трём платформам такие скорости, что бы за время, когда жёлтая платформа достигнет края синей платформы - красная достигла края жёлтой. Пусть в момент выполнения этого условия все платформы остановятся.
Точкам $a$ и $c$ оставим их прежний смысл, а точкой $b$ обозначим финишное положение левого края платформы $R$ .
Далее:
1. потребуем, чтобы величины $a,b$ и $c$ удовлетворяли уравнению $a^3+b^3=c^3$ ,
2. выразим эти величины через длины и скорости платформ,
3. сделав замены, получим условие при котором выполняется это требование.

Предположим, что полученное условие может быть выполнено, в том числе, в натуральных числах.
Но тогда это будет означать, что для платформ $D$ и $R$ также выполнено условие на пифагорову тройку, которая заведомо существует.
А раз так, значит для этих же чисел не может существовать кубическая тройка.
Таким образом, наше предположение о выполнении условия для кубических троек - неверно.

Здесь я останавливаюсь, чтобы выполнить требование о доказательстве ВТФ для степени 3.

P.S. Хотя всё уже и так ясно.

[Lia]

serval в сообщении #1480256 писал(а):

Хотя всё уже и так ясно.

Ага.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Великая теорема Ферма» в форум «Пургаторий (М)»
Причина переноса: см. выше.