Разложение формального степенного ряда в сумму полиномов

[pogulyat_vyshel]

(Оффтоп)

А вот если через $X$ обозначить пространство полиномов над $\mathbb{C}$, а через $X'$ пространство формальных степенных рядов, то операция

$$(u,v)=\sum_{k=0}^\infty u_k\overline v_k,\quad u\in X,\quad v\in X'$$

приводит эти пространства в двойственность. Соответственно образуется несколько стандартных локально выпуклых топологий в $X'$...
и я думаю, что произведение формальных степенных рядов будет непрерывной операцией

[EvgenB]

pogulyat_vyshel в сообщении #1479998 писал(а):

(Оффтоп)

и я думаю, что произведение формальных степенных рядов будет непрерывной операцией

Пусть $a\left( t \right)=\sum\nolimits_{n=0}^{\infty }{{{a}_{n}}}{{t}^{n}}$, $b\left( t \right)=\sum\nolimits_{n=0}^{\infty }{{{b}_{n}}}{{t}^{n}}$ – два формальных степенных ряда. Тогда их произведением является ряд $a\left( t \right)b\left( t \right)=\sum\nolimits_{n=0}^{\infty }{{{t}^{n}}}\left( \sum\nolimits_{m=0}^{n}{{{a}_{m}}{{b}_{n-m}}} \right)$. Что такое непрерывное произведение?

[novichok2018]

Степенной ряд - это уже сумма полиномов, полиномы - это степени. Уже разложено. Чем новое разложение лучше? Я при этом не против формальных рядов.

[EvgenB]

pogulyat_vyshel в сообщении #1479998 писал(а):

(Оффтоп)

А вот если через $X$ обозначить пространство полиномов над $\mathbb{C}$, а через $X'$ пространство формальных степенных рядов, то операция

$$(u,v)=\sum_{k=0}^\infty u_k\overline v_k,\quad u\in X,\quad v\in X'$$

приводит эти пространства в двойственность.

Наверное, под операцией имеется в виду скалярное произведение. Действительно, пространство полиномов можно рассмаривать как множество функций, заданных на пространстве формальных степенных рядов, и наоборот. Но я не вижу связи с моим вопросом.

-- 20.08.2020, 19:50 --

novichok2018 в сообщении #1480003 писал(а):

Степенной ряд - это уже сумма полиномов, полиномы - это степени. Уже разложено. Чем новое разложение лучше? Я при этом не против формальных рядов.

На мой взгляд, Вы плохо сформулировали вопрос. Я не понял, о каком новом разложении Вы говорите.

[pogulyat_vyshel]

EvgenB в сообщении #1480002 писал(а):

Тогда их произведением является ряд $a\left( t \right)b\left( t \right)=\sum\nolimits_{n=0}^{\infty }{{{t}^{n}}}\left( \sum\nolimits_{m=0}^{n}{{{a}_{m}}{{b}_{n-m}}} \right)$. Что такое непрерывное произведение?

я не говорил "непрерывное произведение", я сказал другое. поясняю. произведение это билинейная операция из $X'\times X'\to X'$. Топология есть

-- 20.08.2020, 20:57 --

EvgenB в сообщении #1480006 писал(а):

Но я не вижу связи с моим вопросом.

на ваш вопрос было уже отвечено, мне нечего добавить, действительно текст странный

[EvgenB]

Спасибо, я понял. Авторы статья, которую я предложил к рассмотрению, запутались. Это Ваш ответ. Я тоже к этому склоняюсь. Но червь сомнения остается.

[svv]

Бо́льшую часть доказательства предложения 1.5 в статье занимает обоснование того факта, что $t^n$ представляется конечной линейной комбинацией полиномов $(p_k(t))_{k=0}^n$. (Имхо, проще это делать так.) Только к этой части доказательства относится уточнение by using the mathematical induction. Но как раз эта часть понятна и никаких сомнений не вызывает.

Дальше следует фраза:

Цитата:

Therefore, any formal power series can be written as a linear expression in terms of $\{ p_n(t)=\sum_{j=1}^n \alpha_{n,j}t^j \}$.

Это требует обоснования, но в статье никак не обосновывается. Пример EvgenB хорошо иллюстрирует возможную проблему. Пусть
$f(t)=1+t^1+t^2+t^3+t^4+\ldots$
Выразим $t^n$ через полиномы $p_k(t)=t(t-1)\ldots(t-k+1), \; k\leqslant n$:
$t^1=p_1(t)$
$t^2=p_1(t)+p_2(t)$
$t^3=p_1(t)+3p_2(t)+p_3(t)$
$t^4=p_1(t)+7p_2(t)+6p_3(t)+p_4(t)$
...
(Коэффициенты разложения даются числами Стирлинга второго рода).
Казалось бы, только взять эти формулы и подставить в исходный ряд. Вопрос к уважаемым авторам статьи: чему в полученном ряде будет равен коэффициент при $p_1(t)$?

[EvgenB]

Я понял, что проблема с пониманием смысла статьи на совести авторов, а я могу вздохнуть спокойно. Спасибо за помощь.