Лемма о предельной точке в поле рациональных чисел

[VoprosT]

mihaild в сообщении #1479594 писал(а):

Давайте посмотрим все рациональные числа вида $\frac{(c \cdot k)^2}{k^2}$ где $1.4 < c < 1.5$, $ck$ - целое. Минимальное из них меньше двух, максимальное больше

А разве не $1.4 \leqslant c \leqslant 1.5$ должно быть, чтобы максимальное и минимальное были?

mihaild в сообщении #1479594 писал(а):

(константу можно найти явно)

Примерно понимаю, но на всякий напишу - под "соседними" понимаются числа, получаемые при изменении $c$, а $k$ для каждого $c$ можно считать фиксированным?

mihaild в сообщении #1479594 писал(а):

Выбирать нужно, аксиома выбора не нужна - $\mathbb Q$ можно вполне упорядочить без неё.

Опять же, я видимо мало знаю. Но вот на каждой итерации у меня интервал(в качестве $\varepsilon$ беру $\frac{1}{n}$) $\left\lbrace x \in \mathbb{Q} \colon 2 - \varepsilon < x^2 < 2\right\rbrace$, и в каждом интервале мне надо выбрать по одному представителю. Разве это не то?

mihaild в сообщении #1479594 писал(а):

VoprosT в сообщении #1479586 писал(а):

Интервалы $x \in \mathbb{Q} \colon x^2 < 2 - \varepsilon$ и $x \in \mathbb{Q} \colon 2 - \varepsilon < x^2 < 2$ одно и то же ведь?

Нет конечно, они даже не пересекаются, почему они должны быть одним и тем же?

Просто интервалы первого вида удобно использовать для леммы о покрытии, а интервалы второго вида для леммы о предельной точке. А раз принципы похожи, то интуитивно хочется сказать, что интервалы об одном и том же(хотя бы в пределе?)

[mihaild]

VoprosT в сообщении #1479601 писал(а):

А разве не $1.4 \leqslant c \leqslant 1.5$ должно быть, чтобы максимальное и минимальное были?

Их для каждого $k$ конечное число будет, так что неважно (ну и надо брать $k > 11$, чтобы хотя бы одно число было).

VoprosT в сообщении #1479601 писал(а):

Разве это не то?

Примерно то, но в данном случае есть преимущество: вы каждый раз берете подмножество одного и того же множества. Нумеруем всё $\mathbb Q$ натуральными числами от $0$ до бесконечности, и на каждом шаге берем элемент с минимальным номером из очередного множества. То, что все множества являются подмножествами одного и того же счетного множества, позволяет выбирать элементы "равномерно", так что аксиома не нужна.

VoprosT в сообщении #1479601 писал(а):

А раз принципы похожи, то интуитивно хочется сказать, что интервалы об одном и том же(хотя бы в пределе?)

У вас точно никакой опечатки тут нет? Если присмотреться, то второе неравенство вообще не задает интервал при $2 > \varepsilon$.

[VoprosT]

mihaild в сообщении #1479604 писал(а):

VoprosT в сообщении #1479601 писал(а):

А разве не $1.4 \leqslant c \leqslant 1.5$ должно быть, чтобы максимальное и минимальное были?

Их для каждого $k$ конечное число будет, так что неважно (ну и надо брать $k > 11$, чтобы хотя бы одно число было).

Что-то я совсем не понимаю, как вы построили эти числа, можете, пожалуйста, объяснить подробнее?

mihaild в сообщении #1479604 писал(а):

У вас точно никакой опечатки тут нет? Если присмотреться, то второе неравенство вообще не задает интервал при $2 > \varepsilon$.

Не понял про "$2 > \varepsilon$". Пускай $ \varepsilon = 1$, тогда получаем интервал $\left\lbrace x \in \mathbb{Q} \colon 1<x^2<2\right\rbrace$. А в целом, $\varepsilon$ там (или лучше писать $\varepsilon_n$) - положительная варианта, стремящаяся к нулю, например, $\frac{1}{n}$, как в моём сообщении выше; из таких интервалов удобно выбирать по одному числу на каждом шаге(потому что сразу "отрезаем" хвост слева и тут же "забываем" про уже выбранные номера и номера, меньшие них), а в вашем интервале $x^2 < 2 - \varepsilon$ хвост как бы остаётся, и мы "дольше" (что ли) будем приближаться к $2$, составляя нужную последовательность. Но миссия-то у "ваших" и "моих" интервалов одна и та же - покрыть слева отрезок $[0, \sqrt{2}]$ или построить последовательность, сходящуюся к $\sqrt{2}$, разве нет?

[mihaild]

VoprosT в сообщении #1479713 писал(а):

как вы построили эти числа, можете, пожалуйста, объяснить подробнее?

Какие? $1.4$ и $1.5$? Ну просто рациональные числа, такие что квадрат первого меньше $2$, а квадрат второго больше. $11$ - чтобы $(1.5 - 1.4) \cdot k > 1$, чтобы точно между $1.4 k$ и $1.5 k$ попало хотя бы одно целое число.

VoprosT в сообщении #1479713 писал(а):

получаем интервал $\left\lbrace x \in \mathbb{Q} \colon 1<x^2<2\right\rbrace$.

Это не интервал. В это множество входят $1.2$ и $-1.2$, но не входит $0$. А интервал вместе с двумя точками содержит и все лежащие между ними.

[VoprosT]

mihaild в сообщении #1479730 писал(а):

Какие? $1.4$ и $1.5$? Ну просто рациональные числа, такие что квадрат первого меньше $2$, а квадрат второго больше. $11$ - чтобы $(1.5 - 1.4) \cdot k > 1$, чтобы точно между $1.4 k$ и $1.5 k$ попало хотя бы одно целое число.

Я весь день пытался разобраться, откуда оценка сверху $O(\frac{1}{k})$, но так и не понял

mihaild в сообщении #1479730 писал(а):

VoprosT в сообщении #1479713 писал(а):

получаем интервал $\left\lbrace x \in \mathbb{Q} \colon 1<x^2<2\right\rbrace$.

Это не интервал. В это множество входят $1.2$ и $-1.2$, но не входит $0$. А интервал вместе с двумя точками содержит и все лежащие между ними.

Вон оно что. Правильно ли я понимаю, что мои множества подходят для построения последовательности, но не покрытия, а ваши и для того, и для другого?

[mihaild]

VoprosT в сообщении #1479940 писал(а):

откуда оценка сверху $O(\frac{1}{k})$

А как можно ограничить $\frac{(m + 1)^2}{k^2} - \frac{m^2}{k^2}$, если $1.4 k < m < 1.5 k$?

VoprosT в сообщении #1479940 писал(а):

мои множества подходят для построения последовательности

А как вы хотите по множествам последовательность строить?

[VoprosT]

mihaild в сообщении #1479962 писал(а):

VoprosT в сообщении #1479940 писал(а):

откуда оценка сверху $O(\frac{1}{k})$

А как можно ограничить $\frac{(m + 1)^2}{k^2} - \frac{m^2}{k^2}$, если $1.4 k < m < 1.5 k$?

$\frac{2m+1}{k^2} < \frac{3k+1}{k^2} < \frac{4}{k} = O(\frac{1}{k})$ , спасибо

mihaild в сообщении #1479962 писал(а):

VoprosT в сообщении #1479940 писал(а):

мои множества подходят для построения последовательности

А как вы хотите по множествам последовательность строить?

На первом шаге выбираю $x_1$ из $\left\lbrace x \in \mathbb{Q} \colon 2 - 1 < x^2 < 2 \right\rbrace$, на втором шаге выбираю $x_2$ из $\left\lbrace x \in \mathbb{Q} \colon 2 - \frac{1}{2} < x^2 < 2 \right\rbrace$, на $n$-ом шаге выбираю из $\left\lbrace x \in \mathbb{Q} \colon 2 - \frac{1}{n} < x^2 < 2 \right\rbrace$. Похоже я из-за такого построения ссылался на аксиому выбора? Потому что здесь нумеровать все $x \in \mathbb{Q}$ неудобно, вдруг какой-то случайно пропущу(хотя пропустить я ведь могу только ноль? UPD: не только ноль, но ещё много-много чисел, например, целый отрезок $[-1,1]$ на первом шаге), но то, что $\left\lbrace x \in \mathbb{Q} \colon 2 - \frac{1}{n} < x^2 < 2 \right\rbrace$ непусто, показать можно, т.е. $x_n$ там можно найти. Хотя, если работать только с положительными рациональными числами, то можно также занумеровать(потому что бесконечное подмножество счётного множества тоже счётно) и выбирать так, как предлагали вы сообщением выше, верно?

[mihaild]

VoprosT в сообщении #1479980 писал(а):

Похоже я из-за такого построения ссылался на аксиому выбора?

Тут можно сослаться на аксиому выбора, но не обязательно. Существование функции выбора для семейства множеств, объединение которых не более чем счетно, доказывается и в чистой ZF.

VoprosT в сообщении #1479980 писал(а):

Потому что здесь нумеровать все $x \in \mathbb{Q}$ неудобно

Ну счетность рациональных чисел - в любом случае полезное утверждение. А если она уже есть, то заново нумеровать ненужно.

[VoprosT]

mihaild в сообщении #1479982 писал(а):

Существование функции выбора для семейства множеств, объединение которых не более чем счетно, доказывается и в чистой ZF.

А не подскажете, где можно про это почитать? А то гугл сразу отправляет на "аксиому счётного выбора" на Википедии

mihaild в сообщении #1479982 писал(а):

VoprosT в сообщении #1479980 писал(а):

Потому что здесь нумеровать все $x \in \mathbb{Q}$ неудобно

Ну счетность рациональных чисел - в любом случае полезное утверждение. А если она уже есть, то заново нумеровать ненужно.

Хм, то есть и из моих множеств можно выбирать элементы последовательности, следуя вашей тактике с выбором элемента с минимальным номером?

[mihaild]

VoprosT в сообщении #1479983 писал(а):

А не подскажете, где можно про это почитать?

Не знаю, но доказывается это просто.
Вот у нас есть отображение $f: A \to 2^B$, где $B$ вполне упорядочено. Из него делается множество $C$ пар вида $(a, b)$, $b \in B$, $(a, b) \in C \leftrightarrow b \in f(a)$. Из него по аксиоме выделения делается множество $C'$ пар вида $(a, b)$, такое что $(a, b) \in C' \leftrightarrow (a, b) \in C \wedge \forall b': ((a, b') \in C \rigtharrow b \leqslant b')$. Ну и это $C$ и будет нашей функцией выбора.

VoprosT в сообщении #1479983 писал(а):

из моих множеств можно выбирать элементы последовательности, следуя вашей тактике с выбором элемента с минимальным номером?

Можно из любых, если конечно множества такие, что любая последовательность из них будет сходиться куда нужно.