Геометрические характеристики

[tpm01]

Вопрос вот в чем. Находим геометрические характеристики четверти круга, например.
Находим координаты центра тяжести при разбивке на элементарные секторы:

Все получается, например:
$S_y=\int\limits_{F}^{} xdF=\int\limits_{0}^{\pi/2}(2/3)r\cdot \cos \varphi \cdot r^2/2 d\varphi=r^3/3$
получается стандартная формула
$x_C=(r^3/3)/(\pi\cdot r^2/4)=4r/3 \pi$

Если этот же подход (разбиение на элементарные площади) использовать для нахождения осевых моментов инерции относительно тех же осей, то получится немного странная формула:
$J_x=\int\limits_{F}^{}y^2dF=\int\limits_{0}^{\pi/2}(\frac{2}{3}r\cdot \sin \varphi)^2\cdot\frac{r^2}{2}d\varphi=\frac{\pi\cdot r^4}{18}$

а должно быть $\frac{\pi\cdot r^4}{16}$
этот результат получается, если разбивать не на элементарные секторы, как на рисунке, а на элементарные прямоугольники. Почему так получается?

[Eule_A]

А откуда взялся множитель $2/3$?

[tpm01]

это координата центра тяжести элементарной площади
$y=\frac{2}{3}r\cdot \sin \varphi$
дуга элементарного сектора при малом угле почти прямая, элементарный сектор почти равнобедренный треугольник

[svv]

Если крутить палку вокруг её центра масс, расстояние от центра масс до оси вращения будет равно нулю. И?

[Eule_A]

Секунду. Если Вы ищете осевой момент инерции, то Вам нужны расстояния всех точек тела до оси. К чему здесь координата центра тяжести?

[tpm01]

Eule_A в сообщении #1479888 писал(а):

Секунду. Если Вы ищете осевой момент инерции, то Вам нужны расстояния всех точек тела до оси. К чему здесь координата центра тяжести?

Так мы же фигуру разбиваем на элементарные площади, а координаты это координаты центров тяжести этих элементарных площадей. В любом учебнике по сопромату или теоретической механике так.
Например, Феодосьев "Сопротивление материалов" 1999 стр.142 цитирую:

Цитата:

Каждый из этих интегралов представляет собой сумму произведений элементарных площадей $dF$ на расстояние до соответствующей оси ($x$ или $y$)

это про статические моменты площади
Про интегралы осевых моментов инерции те же обозначения (стр. 146 там же).
У Беляева аналогично, пересмотрела еще штук 10 учебников разных авторов.
Вот картинка из Варданяна, определения везде аналогичные:

Кстати, если мы рассматриваем сечение состоящее из простых фигур (или такое, которое можно на простые фигуры разбить), то мы той же логикой руководствуемся, только вместо интеграла знак суммы:
координаты - это расстояния от центров тяжести этих простых фигур до осей относительно которых мы ищем геометрические характеристики. И все всегда получается, сходимость 100%.
Почему же тут это не работает с четвертью круга?
С прямоугольниками и треугольниками при разбиении полосками (элементарная площадь - полоска) это все работает, хоть вдоль хоть поперек бить.
Может вся соль в двойном интеграле?

svv в сообщении #1479887 писал(а):

Если крутить палку вокруг её центра масс, расстояние от центра масс до оси вращения будет равно нулю. И?

Не поняла на что в данном случае намекаете...

[Eule_A]

Кажется, источник проблемы локализовался.

tpm01 в сообщении #1479892 писал(а):

а координаты это координаты центров тяжести этих элементарных площадей

Вот если бы Вы считали центр тяжести - было бы одно. Причём Вы его хотите считать не двойным интегралом, а фактически сводя его к однократному. Тогда, чтобы снять одно интегрирование, Вы должны использовать информацию о положении центра тяжести тех частей, на которые Вы разбиваете фигуру. Причём эта фигура вовсе не будет "по всем измерениям бесконечно малой". Она может иметь, грубо говоря, конечную протяжённость, но при этом бесконечно малую ширину.
Если же считается момент инерции, то при желании избежать одного интегрирования Вы должны использовать аддитивность момента инерции и знать момент инерции тех частей, на которые разбиваете фигуру. Если же честно считать двойной интеграл, то Ваше разбиение на секторы не проходит, по крайней мере, в буквально таком виде. Я бы просто взял да и проинтегрировал в полярных координатах - и всё. Без выделения секторов. Тогда множитель $2/3$ будет лишним и выражение для площади $dF$ нужно поправить. Проще получится. Не просто же так двойные интегралы выдумали...

[tpm01]

Eule_A, спасибо, с двойным интегралом все получается.