Лемма о предельной точке в поле рациональных чисел

[VoprosT]

Зорич в третьем параграфе второй главы доказывает три леммы: принцип вложенных отрезков Коши-Кантора, лемму о конечном покрытии Бореля-Лебега и лемму о предельной точке Больцано-Вейерштрасса. Первую лемму он доказывает с помощью аксиомы полноты, доказательство второй леммы базируется на первой лемме. Последнюю же он формулирует следующим образом: "Всякое бесконечное ограниченное числовое множество имеет по крайней мере одну предельную точку" и доказывает её, опираясь на вторую лемму о конечном покрытии. После параграфа в одном из упражнений он предлагает читателю убедиться в том, что в поле $\mathbb{Q}$ ни одна из этих лемм не останется в силе.

И вот здесь вопрос. В $\mathbb{Q}$ нет аксиомы полноты, поэтому первое док-во не работает, а остальные два опираются последовательно друг на друга. Это ли имел в виду Зорич в задании? Некорректность док-ва ведь вовсе не означает того, что факт не верный. К первой лемме можно построить конкретный контрпример в $\mathbb{Q}$(с тем же пресловутым корнем из двух). А что делать со второй и третьей леммами?

Конкретный контрпример построить не получается как-то, ну вот даже насчёт леммы о предельной точки(третьей) - какое бесконечное множество в Q не возьми, у любой рациональной точки же будет куча других рациональных точек рядом(или здесь надо сыграть на том, что множество какое-то особенное, например, опять обратиться к $\sqrt{2}$?)

Можно доказать эквивалентность третьей леммы утверждению о том, что во всякой последовательности есть сходящаяся подпоследовательность, но это задание Зорич даёт ещё до введения понятия предела и подпоследовательности.

[pogulyat_vyshel]

очевидно, если последовательность рациональных чисел сходится к иррациональному числу, то она не имеет предельных точек в $\mathbb Q$

[VoprosT]

pogulyat_vyshel в сообщении #1477315 писал(а):

очевидно, если последовательность рациональных чисел сходится к иррациональному числу, то она не имеет предельных точек в $\mathbb Q$

Я ведь в конце специально подчеркнул, что это задание в книге появляется до пределов, хотя последовательность уже встречалась, но понятия сходимости и подпоследовательности - нет. Мне тоже это очевидно, но хочется разобраться именно с тем уровнем знаний, который предполагается у читателя на этом месте в книге.

[grizzly]

VoprosT в сообщении #1477310 писал(а):

или здесь надо сыграть на том, что множество какое-то особенное, например, опять обратиться к $\sqrt{2}$

Можно и так, да: возьмите приближения десятичными дробями; получите бесконечное множество рациональных точек; докажите что это множество не содержит ни одной предельной точки.

[mihaild]

А как выглядит контрпример к первоой лемме? Из любого контрпримера к первой лемме легко изготавливается контрпример к третьей.

[VoprosT]

mihaild в сообщении #1477325 писал(а):

А как выглядит контрпример к первоой лемме? Из любого контрпримера к первой лемме легко изготавливается контрпример к третьей.

Хм. Пока держал в голове, вроде было понятно. А как попытался записать ручками - не выходит. То есть надо построить отрезки с рациональными концами, которые стягиваются к $\sqrt{2}$

UPD: Внимательно прочитал сообщение grizzly и, кажется, понял - надо брать десятичные дроби. Тогда и к третьему контрпример построился, о чудо! Но что делать с леммой о конечном покрытии? Подозреваю, что-то очень похожее должно быть. Но тут ведь я уже вынужден рассматривать целый отрезок рациональных чисел и покрывать его интервалами рациональных чисел.

[mihaild]

VoprosT в сообщении #1477327 писал(а):

Но что делать с леммой о конечном покрытии?

А всё то же самое. В доказательстве леммы о конечном покрытии мы строим последовательность непокрытых отрезков, и она стягивается к какой-то точке. Надо выбрать интервалы так, чтобы эта точка оказалась иррациональной.
Либо можно сразу независимо покрыть $(\sqrt{2}; 2]$ и $[0; \sqrt{2})$ интервалами так, что ни слева, ни справа конечное покрытие выбрать не получится.

[VoprosT]

mihaild в сообщении #1477329 писал(а):

А всё то же самое. В доказательстве леммы о конечном покрытии мы строим последовательность непокрытых отрезков, и она стягивается к какой-то точке. Надо выбрать интервалы так, чтобы эта точка оказалась иррациональной.

А это к не вопросу о том, что некорректность док-ва не означает того,что факт неверный?

mihaild в сообщении #1477329 писал(а):

Либо можно сразу независимо покрыть $(\sqrt{2}; 2]$ и $[0; \sqrt{2})$ интервалами так, что ни слева, ни справа конечное покрытие выбрать не получится.

Ага, с конкретным примером жизнь становится лучше, здорово, разобрался, спасибо!

[VoprosT]

mihaild в сообщении #1477329 писал(а):

Либо можно сразу независимо покрыть $(\sqrt{2}; 2]$ и $[0; \sqrt{2})$ интервалами так, что ни слева, ни справа конечное покрытие выбрать не получится.

Задумался. А вот здесь не объединение полуинтервалов,тогда как в в лемме Бореля-Лебега отрезок рассматривается?

[mihaild]

VoprosT в сообщении #1477332 писал(а):

А вот здесь не объединение полуинтервалов,тогда как в в лемме Бореля-Лебега отрезок рассматривается?

Отрезок. Но это объединение полуинтервалов - тоже отрезок.

[VoprosT]

mihaild в сообщении #1477333 писал(а):

VoprosT в сообщении #1477332 писал(а):

А вот здесь не объединение полуинтервалов,тогда как в в лемме Бореля-Лебега отрезок рассматривается?

Отрезок. Но это объединение полуинтервалов - тоже отрезок.

А, понял, отрезок $[0,2] \cap \mathbb{Q}$ слева и справа от $\sqrt{2}$ покрываем интервалами.

[VoprosT]

Новый вопрос по старой теме:
А если вообще не знать про существование вещественных чисел и квадратного корня из любого положительного числа,, а знать лишь то, что нет рационального числа, квадрат которого равен двум? Задача, похоже, превращается в довольное муторное упражнение

[mihaild]

Нет, эти интервалы можно ввести и без корней. Например как решения $x^2 < 2 - \varepsilon$ и $x^2 > 2 + \varepsilon$.

[VoprosT]

mihaild в сообщении #1479512 писал(а):

Нет, эти интервалы можно ввести и без корней. Например как решения $x^2 < 2 - \varepsilon$ и $x^2 > 2 + \varepsilon$.

А надо ли как-то аккуратно обосновать, что вообще существует бесконечно много(бесконечно близко к $2$) $x \in \mathbb{Q}\colon x^2 < 2 - \varepsilon$ ($x^2 > 2 + \varepsilon$)?А если отталкиваться от леммы о предельной точке, то нам ещё надо будет на каждой итерации выбирать(я так понимаю,аксиома выбора здесь нужна) точки $x \in \mathbb{Q}\colon 2 - \varepsilon < x^2 < 2$ и вот тут уже действительно надо показать, что есть такие иксы(это примерно знаю,как показать)(?).

P.s. Интервалы $x \in \mathbb{Q} \colon x^2 < 2 - \varepsilon$ и $x \in \mathbb{Q} \colon 2 - \varepsilon < x^2 < 2$ одно и то же ведь(в первом устремляем $\varepsilon$ к нулю, а во втором к бесконечности)?

[mihaild]

VoprosT в сообщении #1479586 писал(а):

А надо ли как-то аккуратно обосновать, что вообще существует бесконечно много(бесконечно близко к $2$) $x \in \mathbb{Q}\colon x^2 < 2 - \varepsilon$ ($x^2 > 2 + \varepsilon$)?

Давайте посмотрим все рациональные числа вида $\frac{(c \cdot k)^2}{k^2}$ где $1.4 < c < 1.5$, $ck$ - целое. Минимальное из них меньше двух, максимальное больше, а расстояние между соседними равно $O\left(\frac{1}{k}\right)$ (константу можно найти явно) - значит есть сколь угодно близкие к $2$ квадраты рациональных чисел.

VoprosT в сообщении #1479586 писал(а):

то нам ещё надо будет на каждой итерации выбирать(я так понимаю,аксиома выбора здесь нужна) точки

Выбирать нужно, аксиома выбора не нужна - $\mathbb Q$ можно вполне упорядочить без неё.

VoprosT в сообщении #1479586 писал(а):

Интервалы $x \in \mathbb{Q} \colon x^2 < 2 - \varepsilon$ и $x \in \mathbb{Q} \colon 2 - \varepsilon < x^2 < 2$ одно и то же ведь?

Нет конечно, они даже не пересекаются, почему они должны быть одним и тем же?