Интеграл от нескольких лоренцианов (дельта-функций)

[Otta]

Red_Herring в сообщении #1479427 писал(а):

поскольку $f(x)$ неаналитична.

Многочлен у ТС.

Red_Herring в сообщении #1479427 писал(а):

в смысле обобщенных функций.

В $\cal D'$ - да. Дык Математика же не сказала.

(Оффтоп)

Я правильно помню, что $\varepsilon\to 0+0$?

[Physman]

Red_Herring в сообщении #1479427 писал(а):

получаем в пределе
$\pi \bigl[\delta(x-x_1) + \delta(x-x_2)\bigr] \times (x_1-x_2)^{-2}$ при $x_1\ne x_2$.

Большое спасибо за ваш комментарий! Подскажите, как вы берёте этот предел?

(Я в предыдущем сообщении привёл весь интеграл, было бы очень здорово, если и там можно было бы так же взять предел. Научите!)

[Otta]

Physman в сообщении #1479431 писал(а):

Подскажите, как вы берёте этот предел?

Это, конечно, не ко мне, но я пока спрошу: который?

[Physman]

Physman в сообщении #1479431 писал(а):

Это, конечно, не ко мне, но я пока спрошу: который?

Вот тот, который был взят, и дал в ответе

Physman в сообщении #1479431 писал(а):

получаем в пределе
$\pi \bigl[\delta(x-x_1) + \delta(x-x_2)\bigr] \times (x_1-x_2)^{-2}$ при $x_1\ne x_2$.

В полном интеграле - более сложная ситуация, там таких "лоренцианов" несколько перемножается (шесть), вот я и спрашиваю, как там предел искать?

[Otta]

Physman в сообщении #1479437 писал(а):

Вот тот, который был взят, и дал в ответе

Он основан на том пределе, что Вы и сами приводили чуть выше.

Red_Herring в сообщении #1479427 писал(а):

$\lim _{\varepsilon \to 0} \frac{\varepsilon}{x^2+\varepsilon^2} =\pi \delta(x)$

Только понимать его надо правильно, в пространстве обобщенных функций. Вопросов станет не больше, а меньше.
Да, ну если Вы там степени где-то поправите. Проверьте свой знаменатель, пожалуйста.

И вот когда Вы поправите степени, читайте еще раз http://dxdy.ru/post1479427.html#p1479427, там уже все написано.

[Physman]

Otta в сообщении #1479443 писал(а):

Если бы степень была другая, квадрат, например, осталась бы в пределе производная дельта функции с точностью до множителя.

А как все вместе считать - ну разложите на простейшие.

В том-то и дело, что я не понимаю, как тут разложить на "простейшие". Ведь отдельно предел брать нельзя, наверное. Я не понимаю, почему в числителе должна быть эпсилон в квадрате. Я не понимаю, откуда берётся производная. Короче, вопрос такой: где всё это посмотреть? Ну или покажите пример, как вычислить вот такое выражение. Вы можете его посчитать?

Если вам это настолько понятно, казалось бы, и посчитать не проблема?

Если бы я понял на этом примере, то смог бы взять и более сложный интеграл с 6 такими знаменателями.

Otta в сообщении #1479443 писал(а):

с точностью до множителя

Для меня множитель важен, поэтому хочется не примерно, а аккуратно посчитать. Вот что там вылезет вместь $x_1-x_2$ в случае "вырождения", когда один или несколько знаменателей в квадрате?

[Red_Herring]

Physman в сообщении #1479442 писал(а):

По-аналогии не посчитать,

Да так же. Заметим, что $\dfrac{|x|\varepsilon^3}{(x^2+\varepsilon^2)^2}$ стремится к $0$ в смысле о.ф., поэтому $\dfrac{\varepsilon^3}{(x^2+\varepsilon^2)^2}\to c\delta(x)$, где

$$ c=\int_{-\infty}^\infty \frac{dx}{(x^2+1)^2}=\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^2(y)\,dy =\pi/2. $$

[Physman]

Red_Herring, cпасибо, но я по-прежнему не понимаю, откуда берётся "префактор" $(x_1-x_2)^{-2}$ и как его найти в случае произведения нескольких (4, например) дробей? Как у вас получилась сумма дельта-функций? Что будет, если их много?

Возможно это очень базовые знания, которые всем должны быть известны, но мне - нет. Тогда подскажите, пожалуйста, книгу (для начала).

[Otta]

Physman
Разложение в сумму простейших никто не отменял.

-- 16.08.2020, 18:55 --

Не, я тот коммент стерла, он не по существу. А вот разложение в сумму простейших - по существу. У Вас есть дробь. Положим, такая.
$\dfrac{\varepsilon^2}{(x^2+\varepsilon^2)((x-x_1)^2+\varepsilon^2)}$
Что Вы, не сможете ее разложить?

[Red_Herring]

Да не надо расскладывать на простейшие. Если $x_1\ne x_2$, то можно рассмотреть отдельно $f$ с носителем в окрестности $x_1$ (и так же в окрестности $x_2$), и включить все несингулярное в $f$, т.е. получим $\pi\delta (x-x_1) \times \dfrac{1}{(x-x_2)^2 } = \pi\delta (x-x_1) \times \dfrac{1}{(x_1-x_2)^2 } $

[Otta]

Red_Herring в сообщении #1479454 писал(а):

Если $x_1\ne x_2$, то можно рассмотреть отдельно $f$ с носителем в окрестности $x_1$ (и так же в окрестности $x_2$), и включить все несингулярное в $f$

А ведь да, так куда как лучше.

[Physman]

Red_Herring, Otta
Большое вам спасибо за советы и обсуждение! Я попробую посчитать, если не выйдет - приду с новыми вопросами.

[Physman]

Здравствуйте! У меня появился ещё один затык. Допустим, у нас есть интеграл,
$\lim\limits_{\varepsilon\rightarrow0} \int\limits_0^\infty dx\int\limits_{-\infty}^\infty dy \frac{\varepsilon^n}{(y-y_1+x)^2+\varepsilon^2}\frac{1}{(y+\omega-x)^2+\varepsilon^2}, $
где $n$ - это некоторая степень эпсилон для формирования лоренцианов (мы её можем записать какую хотим), $y_1$ и $\omega$ - константы.

Допустим далее, что может случиться так, что $x-\omega=y$ (и т.о., может получиться "вырождение" знаменателей).

Как взять этот интеграл в таком случае? Как аккуратно перейти к пределу по эпсилону?

-- 17.08.2020, 13:04 --

Я думаю, должно получиться следующее:
$\sim\frac{1}{\varepsilon^n}\int dx\delta(x-\frac{y_1+\omega}{2})$,

так как $y$ должен быть равен и $x-\omega$ и $y_1-x$ из дельта-функций, казалось бы.

Но уверенности нет.

[Red_Herring]

Physman в сообщении #1479581 писал(а):

Допустим далее, что может случиться так, что $x-\omega=y$ (и т.о., может получиться "вырождение" знаменателей).

Какое вырождение? Вам же разъяснили, что плохо бывает когда при $\varepsilon=0$ оба знаменателя обращаются в $0$ по $y$ одновременно и записали ответ. Исправьте ошибки и тогда поговорим. Кроме того, поскольку сейчас у вас $f=1$, то можно, не полагая $\varepsilon=0$ посчитать интеграл по $y$ с помощью вычетов и плясать отсюда.

[Physman]

Red_Herring в сообщении #1479651 писал(а):

Какое вырождение?

Я имел в виду, что при $\varepsilon=0$ как раз оба знаменателя могут обратиться в 0 если $y_1-x=x-\omega$.

Red_Herring в сообщении #1479651 писал(а):

Кроме того, поскольку сейчас у вас $f=1$

На самом деле, у меня есть $f$, интеграл такой:
$\int\limits_0^\infty dx$\int\limits_{-\infty}^\infty dy\frac{f(x,y)}{(y-y_1+x)^2+\varepsilon^2}\frac{1}{(x-\omega-y)^2+\varepsilon^2}$

Red_Herring в сообщении #1479651 писал(а):

плохо бывает когда при $\varepsilon=0$ оба знаменателя обращаются в $0$ по $y$ одновременно и записали ответ.

Допустим, у меня как раз тот случай, поскольку $y_1-x=x-\omega$. Тогда оба знаменателя равны, и согласно вашему рецепту, вроде как, получаем квадрат лоренциана вместо двух лоренцианов, и всего одну дельта-функцию,
$=\int\limits_0^\infty dx$\int\limits_{-\infty}^\infty dy\frac{f(x,y)}{[(y-y_1+x)^2+\varepsilon^2]^2}=N\pi \varepsilon^n\int\limits_0^\infty dx$\int\limits_{-\infty}^\infty dy f(x,y)\delta(y-y_1+x)$

А следующий интеграл как раз по $x$. Вылезает ли там вторая дельта-функция типа $\delta(x-\frac{y_1-\omega}{2})$?