Бинарная операция

[Vladimir Pliassov]

Будем исходить из того, что для совершения бинарной операции необходимо два элемента.

В таком случае, если имеется только один элемент, то невозможно по отношению к нему совершить бинарную операцию.

Пусть дано множество $\{a, b, c, \cdots, w\}$ неповторяющихся элементов и на нем определена бинарная операция $ \circ $, которую мы назовем умножением. Мы можем умножить $a$ на $b$: $a \circ b=c$, -- но умножить $a$ на $a$ (или взять степень от $a$) не можем.

Теперь пусть каждый элемент множества $\{a, b, c, \cdots, w\}$ является множеством, состоящим из равных элементов, то есть классом, и пусть будет определена бинарная операция $ \circ$ (ее также назовем умножением), которая ставит в соответствие любой паре элементов, взятых из произвольных классов (в частности, из одного и того же класса), некоторый элемент некоторого класса.

Пусть $a_1, a_2$ являются элементами класса $a$, и пусть в результате их перемножения получается элемент класса $b$:

$$a_1 \circ a_2=b_1=b_2=b_3 \cdots .$$

Выражение "умножить элемент $a$ сам на себя" является условным, оно означает не то, что $a$ умножается на $a$, а то, что два элемента из класса $a$ умножаются друг на друга.

При этом можно смотреть на это как на перемножение классов и записывать это как

$$a \circ a=b$$

что и делается.

Правильно?

[kotenok gav]

Vladimir Pliassov в сообщении #1479363 писал(а):

но умножить $a$ на $a$ (или взять степень от $a$) не можем.

Почему??? Бинарная операция определена на каждой паре чисел нашего множества.

[Aritaborian]

Vladimir Pliassov в сообщении #1479363 писал(а):

Мы можем умножить $a$ на $b$: $a \circ b=c$, -- но умножить $a$ на $a$ (или взять степень от $a$) не можем.

Дальше можно не читать, наверное. Чем пара равных элементов не заслужила иметь право перемножаться? Это ведь тоже два элемента рассматриваемого множества. Они равны, ну и что?

[mihaild]

Как выше уже написали - умножать элемент на себя можно. Вот для введения степени нужна ассоциативность.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1479368 писал(а):

... умножать элемент на себя можно.

Вот именно, нельзя - если "исходить из того, что для совершения бинарной операции необходимо два элемента," - у меня там в самом начале написано.

[Aritaborian]

Vladimir Pliassov, два-то два, но почему нельзя взять два одинаковых элемента? Их же два!

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1479373 писал(а):

исходить из того, что для совершения бинарной операции необходимо два элемента

Я не понимаю, что значит эта фраза, но если она говорит, что умножать элемент на себя нельзя, то исходить из неё не надо.
Формально, бинарная операция - это функция на множестве пар элементов нашего множества. Компоненты пары не обязаны отличаться.

[Vladimir Pliassov]

Aritaborian в сообщении #1479375 писал(а):

Vladimir Pliassov, два-то два, но почему нельзя взять два одинаковых элемента? Их же два!

Потому что во взятом множестве нет двух одинаковых элементов - там написано: "Пусть дано множество $\{a, b, c, \cdots, w\}$ неповторяющихся элементов ..." -

правда, "неповторяющихся элементов" я приписал позже (редактировал).

[kotenok gav]

Пусть наше множество называется $M$. Тогда эта операция - функция с $M\times M$ на $M$. В $M\times M$ также входят и пары из одинаковых элементов.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1479376 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1479373 писал(а):

исходить из того, что для совершения бинарной операции необходимо два элемента

Я не понимаю, что значит эта фраза, но если она говорит, что умножать элемент на себя нельзя, то исходить из неё не надо.
Формально, бинарная операция - это функция на множестве пар элементов нашего множества. Компоненты пары не обязаны отличаться.

Пара состоит из двух элементов, а у нас только один.

Чтобы получить два таких элемента, как этот "один", можно заменить его классом, состоящим из элементов, равных ему, и взять из этого класса два произвольных элемента - они все одинаковые.

Тогда их можно перемножить, не противореча посылке "исходить из того, что для совершения бинарной операции необходимо два элемента".

[EUgeneUS]

Vladimir Pliassov в сообщении #1479381 писал(а):

и взять из этого класса два произвольных элемента - они все одинаковые.

Из множества

Vladimir Pliassov в сообщении #1479363 писал(а):

$\{a, b, c, \cdots, w\}$

Вы "взяли" (как первый операнд бинарной операции) элемент $a$.
Множество изменилось?

[tolstopuz]

Vladimir Pliassov в сообщении #1479381 писал(а):

Пара состоит из двух элементов, а у нас только один.

В алфавите только одна буква "а", а вы ее вон уже сколько раз использовали.

[EUgeneUS]

tolstopuz

(Оффтоп)

tolstopuz в сообщении #1479384 писал(а):

В алфавите только одна буква "а", а вы ее вон уже сколько раз использовали.

В алфавите "a а", а он использует "the а"

[Aritaborian]

(EUgeneUS)

EUgeneUS в сообщении #1479385 писал(а):

В алфавите "a а"

Не "a a", а "an a"! ;-Þ

[Vladimir Pliassov]

kotenok gav в сообщении #1479380 писал(а):

Пусть наше множество называется $M$. Тогда эта операция - функция с $M\times M$ на $M$. В $M\times M$ также входят и пары из одинаковых элементов.

Посылка "Будем исходить из того, что для совершения бинарной операции необходимо два элемента" запрещает делать пару из одного и того же элемента.

Исходя из этой посылки, функция $M\times M$ предполагает, что когда говорят: "элемент из $M$ умножается сам на себя", - то имеется в виду, что элементы $M$ представляют собой классы, и перемножаются два элемента из одного и того же класса.

То есть при умножении элемента из $M$ самого на себя $M$ является фактор-множеством - каждый его элемент есть класс (равных) элементов.

Проиллюстрируем это -- в обратном смысле -- на примере перемножения классов вычетов. Можно представить себе множество классов вычетов не как множество классов, а как множество простых элементов (то есть каждый класс рассматривать как простой элемент), но когда понадобится перемножить два элемента этого множества, то придется все же посмотреть на это множество как на множество классов и на эти два элемента как на два класса (при этом разумеется, что это может быть один и тот же класс), и для перемножения взять по одному (произвольному) элементу от каждого из перемножаемых классов.

Как было сказано, "выражение "умножить элемент $a$ сам на себя" является условным, оно означает не то, что $a$ умножается на $a$, а то, что два элемента из класса $a$ умножаются друг на друга," - но чаще всего над этой условностью не задумываются и воспринимают это выражение буквально.