Равномерная непрерывность

[bubu gaga]

Пусть дано непрерывное отображение $f$ из $[0, \infty)$ в $\mathbb{R}$. И пусть существует такая точка $b > 0$, что $f$ равномерно непрерывно на $[b, \infty)$. Доказать, что $f$ равномерно непрерывно на всей области определения $[0, \infty)$.

Причём доказать используя теорему о существовании конечных открытых подпокрытий для компактных множеств. Куда думать? Спасибо!

[Brukvalub]

Докажите два факта:
1. Теорема Кантора: Непрерывная на отрезке ф-ция равномерно непрерывна на нем.
2. Если функция равномерно непрерывна на отрезке и на примыкающем к этому отрезку луче, а также непрерывна на их объединении, то она равномерно непрерывна на этом объединении.

[bubu gaga]

1. Теорема Кантора

Для того чтобы функция не была равномерно непрерывной необходимо существование таких двух последовательностей $(x_n)$ и $(y_n)$ что $|x_n - y_n| \to 0$ и тем не менее для любого $n$ верно $| f(x_n) - f(y_n) | > \epsilon$

Выберем в $(x_n)$ сходящуюся подпоследовательность $(x_{n_m})$ и обозначим её предел за $x$. Соответствующая подпоследовательность $(y_{n_m})$ сходится к тому же пределу. А так как функция $f$ непрерывная, то $f(x_{n_m})$ сходится к тому же пределу $f(x)$, что и $f(y_{n_m})$. А значит существует $n$ для которого $|f(x_n) - f(y_n)| < \epsilon$

2. Объединение

Равномерная непрерывность означает, что для любого $\epsilon$ мы можем выбрать соответсвующий ответ $\delta(\epsilon)$. Оптимальный ответ на отрезке $[0, b]$ обозначим за $\delta_1(\epsilon)$, а оптимальный ответ на интервале $[b, \infty)$ за $\delta_2(\epsilon)$.

Для каждого $\epsilon$ будем вычислять оптимальный ответ по следующей формуле $\delta(\epsilon) = \min \bigl\{ \delta_1(\epsilon / 2), \delta_2(\epsilon / 2) \bigr\}$

Возьмём произвольные точки $x$ и $y$ по разные стороны от $b$. Получаем $|x - y| < \delta \Rightarrow |x - b| < \delta \Rightarrow |x - b| < \delta_1(\epsilon / 2) \Rightarrow |f(x) - f(b)| < \epsilon/2$. Аналогично для $|b - y|$

$|x - y| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(y)| \le |f(x) - f(b)| + |f(b) - f(y)| < \epsilon $

Так как быть со счётным подпокрытием? Куда его тут всунуть, так и не понял.

[Brukvalub]

bubu gaga в сообщении #147865 писал(а):

Равномерная непрерывность означает, что для любого $\epsilon$ мы можем выбрать соответсвующий ответ $\delta(\epsilon)$. Достаточно взять $\delta(\epsilon) = \min \{ \delta_1(\epsilon / 2), \delta_2(\epsilon / 2) \}$

Вот здесь сильно "замылено", нужно поподробнее.

bubu gaga в сообщении #147865 писал(а):

Так как быть со счётным подпокрытием? Куда его тут всунуть, так и не понял.

Кроме док-ва "от отвратительного", есть и прямое док-во т. Кантора, использующее т. о выделении конечного подпокрытия.

[id]

bubu gaga
То, что можно выбрать сходящуяся подпоследовательность $(x_{n_m})$ - следствие компактности ( т.е. возможности выбрать конечное подпокрытие из открытого покрытия ).

Точнее, имеет место следущая цепочка рассуждений:
Если пространство компактно ( в смысле открытых покрытий ), то в нем всякое бесконечное множество имеет точку накопления.
В пространстве с первой аксиомой счетности точка накопления тождественна предельной точке.
Следовательно, всякая последовательность точек компактного пространства с первой аксиомой счетности содержит сходящуюся подпоследовательность.

[bubu gaga]

Brukvalub писал(а):

есть и прямое док-во т. Кантора

Вот что пока получилось

Непрерывные отображения сохраняют компактность. Следовательно множество значений $f$ тоже будет компактно. Покроем множество значений открытими интервалами с диаметром меньше $\epsilon$ и возьмём конечное подпокрытие $M$. Найдем прообраз этого подпокрытия $M^{-1} = \{ f^{-1}(A) \; | \; A \in M \}$. Для непрерывной функции прообраз открытого множества тоже открыт, то есть $M^{-1}$ содержит только непустые открытые подмножества.

Теперь осталось найти $\delta$. Для этого замыкаем коллекцию $M^{-1}$ по пересечению и находим $\delta$ такое, что каждый элемент замыкания содержит открытый интервал диаметром $\delta$.

[Brukvalub]

bubu gaga в сообщении #147896 писал(а):

Теперь осталось найти $\delta$. Для этого замыкаем коллекцию $M^{-1}$ по пересечению и находим $\delta$ такое, что каждый элемент замыкания содержит открытый интервал диаметром $\delta$.

Мутновато написано....

[Профессор Снэйп]

А у меня сразу встаёт в голове заученная к экзамену на первом курсе формулировка теоремы.

Теорема. Функция, непрерывная на компакте, равномерно непрерывна.

Если у Вас такая теорема была, то делать тут вообще нечего, ибо отрезок $[0,b]$ компактен.

[ewert]

Ну как это нечего. Надо ещё оформить заклинаниями, что из равномерной непрерывности на каждом из подмножеств следует равномерная непрерывность на всём множестве.

Причём, судя по постановке задачи, теорема Кантора явно подразумевалась (ибо доказывать саму теорему в эдаком окружении -- выглядит несколько дико).

Добавлено спустя 8 минут:

id писал(а):

bubu gaga
То, что можно выбрать сходящуяся подпоследовательность $(x_{n_m})$ - следствие компактности ( т.е. возможности выбрать конечное подпокрытие из открытого покрытия ).

Точнее, имеет место следущая цепочка рассуждений:

Смотря что называть компактностью. Существует (во всяком случае, в полных метрических пространствах) минимум три эквивалентных определения:

-- когда из каждого открытого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие;
-- когда по любому эпсилону найдётся конечная эпсилон-сеть;
-- когда из любой последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность

(правда, два последних -- это предкомпактность, но не суть).

Причём лично я в качестве исходного определения предпочитаю именно последнее, ибо оно выглядит наиболее конструктивным.

[Профессор Снэйп]

ewert писал(а):

Ну как это нечего. Надо ещё оформить заклинаниями, что из равномерной непрерывности на каждом из подмножеств следует равномерная непрерывность на всём множестве.

Какие-то совсем простые заклинания получаются.

Утверждение. Если функция $f: A \cup B \to \mathbb{R}$ равномерно непрерывна на $A$ и на $B$, то она равномерно непрерывна на $A \cup B$.

Доказательство. На множестве $A$ для любого $\varepsilon > 0$ найдётся $\delta_1(\varepsilon) > 0$, такое что... На множестве $B$ для любого $\varepsilon > 0$ найдётся $\delta_2(\varepsilon) > 0$ с аналогичными свойствами. Легко заметить, что $\delta(\varepsilon) = \min \{ \delta_1(\varepsilon), \delta_2(\varepsilon) \}$ годится для $A \cup B$. $\qed$

ewert писал(а):

Смотря что называть компактностью. Существует (во всяком случае, в полных метрических пространствах) минимум три эквивалентных определения:

-- когда из каждого открытого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие;
-- когда по любому эпсилону найдётся конечная эпсилон-сеть;
-- когда из любой последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность

(правда, два последних -- это предкомпактность, но не суть).

Причём лично я в качестве исходного определения предпочитаю именно последнее, ибо оно выглядит наиболее конструктивным.

Первое суть стандартное определение компактности. В метрических пространствах первое эквивалентно третьему. У нас на первом курсе это доказывалось и мне казалось, что любой человек, которому знакомо слово "компактность", знает также и об этой эквивалентности.

[Brukvalub]

Профессор Снэйп в сообщении #147954 писал(а):

Утверждение. Если функция $f: A \cup B \to \mathbb{R}$ равномерно непрерывна на $A$ и на $B$, то она равномерно непрерывна на $A \cup B$.

Это "тривиальное" утверждение попросту неверно. Возьмите два множества [0 ; 1) , [1 ; 2] и на одном из них , положите функцию равной 0, а на втором - равной 1.

[Профессор Снэйп]

Brukvalub писал(а):

Профессор Снэйп в сообщении #147954 писал(а):

Утверждение. Если функция $f: A \cup B \to \mathbb{R}$ равномерно непрерывна на $A$ и на $B$, то она равномерно непрерывна на $A \cup B$.

Это "тривиальное" утверждение попросту неверно. Возьмите два множества [0 ; 1) , [1 ; 2] и на одном из них , положите функцию равной 0, а на втором - равной 1.

Упс!.. Каюсь, недоглядел

[bubu gaga]

ewert писал(а):

Ибо доказывать саму теорему в эдаком окружении -- выглядит несколько дико

А что значит дико, не поясните?

Профессор Снэйп писал(а):

У нас на первом курсе это доказывалось и мне казалось, что любой человек, которому знакомо слово "компактность", знает также и об этой эквивалентности.

Теорема о эквивалентности этих утверждений мало того была дана в учебнике полностью, на неё также ссылались в решаемой задаче. Только условие звучало: "передокажите задачу такую-то но с помощью факта существования конечного подпокрытия". Я мог бы по совету id сказать, что это свойство эквивалентно существованию сходящихся подпоследовательностей, но мне кажется это не то, что спрашивали в упражнении.

[Really]

Да просто Теорема Кантора важный фундаментальный факт. Она сама
по себе намного более значима, чем то утверждение, которое вы
пытаетесь доказать. Представлять ее как вспомогательную часть этой
задачи действительно выглядит несколько дико. Дело обстоит как раз
наоборот: все это следствие справедливости теоремы Кантора.

[bubu gaga]

Brukvalub писал(а):

Мутновато написано....

Короче подсмотрел я доказательство http://pcai042.informatik.uni-leipzig.d ... ntry/5703/
Оно оказалось в 10 раз проще моего