Запись множества

[Vladimir Pliassov]

Есть два типа записи множеств.

Первый тип это $\{a_i\}=\{a_1, a_2, \cdots, a_n \}$, соответственно, $i=1, 2, \cdots, n$ (или $i=\overline {1, n}$), и здесь в общем случае писать $\{a_i\}=\{a_1, a_2, \cdots, a_i, \cdots, a_n \}$ или $i=1, 2, \cdots, i, \cdots, n$ неверно,

так как в общем случае все элементы множества разные, и поэтому, например, в $\{a_1, a_2, \cdots, a_i, \cdots, a_n \}$$ имеет место $a_i \ne a_1 $,

вместе с тем в записи $\{a_i\}=\{a_1, a_2, \cdots, a_i, \cdots, a_n \}$ имеется в виду, что каждый элемент из $\{a_1, a_2, \cdots, a_i, \cdots, a_n \}$ равен $a_i$ (так же как в записи $\{a_i\}=\{a_1, a_2, \cdots, a_n \}$ каждый элемент из $\{a_1, a_2, \cdots, a_n \}$ равен $a_i$), то есть, например, $a_i=a_1$, что находится в противоречии с утверждением $a_i \ne a_1$.

(Каждый элемент из $\{a_1, a_2, \cdots, a_i, \cdots, a_n \}$ является $i$-тым - $\{a_i\}$ есть множество элементов, каждый из которых есть $a_i$.)

Так же и в записи $i=1, 2, \cdots, n$ имеет место равенство $i$ каждому из элементов $1, 2, \cdots, n$, то есть, например, $i=1$.

В множестве же $\{1, 2, \cdots, i, \cdots, n\}$ в общем случае $i \ne 1$.

Но есть второй тип записи:

$$\{a_1, \cdots, a_i, \cdots, a_n\},$$

и эту запись можно назвать условной, потому что условием здесь является договоренность, что, несмотря на некорректность выражения $\{a_i\}=\{a_1, \cdots, a_i, \cdots, a_n \}$, имеется в виду, что $\{a_i\}$ и $\{a_1, \cdots, a_i, \cdots, a_n \}$ обозначают одно и то же множество.

Запись $\{a_i\}=\{a_1, a_2, \cdots, a_i, \cdots, a_n \}$ является верной не в общем, а в частном случае, когда все элементы множества $\{a_1, a_2, \cdots, a_i, \cdots, a_n \}$ равны $a_i$.

Запись $i=1, 2, \cdots, i, \cdots, n$ не может быть верной никогда, так как $1 \ne 2$.

Запись $i=1, \cdots, i, \cdots, n$ в общем случае неверна, но верна при $n=1$.

Так?

[kotenok gav]

Нет таких записей множеств.

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov
Вы излишне акцентируетесь на формах записи. По большему счёту, всё равно, как что записывать, лишь бы было понятно.

Vladimir Pliassov в сообщении #1479310 писал(а):

Первый тип это $\{a_i\}=\{a_1, a_2, \cdots, a_n \}$,

Я бы написал $\{a_i\}_{1\leq i\leq n}=\{a_1,\ldots,a_n\}$.

Vladimir Pliassov в сообщении #1479310 писал(а):

$\{a_i\}=\{a_1, a_2, \cdots, a_i, \cdots, a_n \}$ или $i=1, 2, \cdots, i, \cdots, n$ неверно, так как в общем случае все элементы множества разные

Вы правы, что $i=1,2,\ldots,i,\ldots,n$ лучше не писать, как-то путано смотрится. А вот $\{a_1,\ldots,a_i,\ldots,a_n\}$ часто пишут. А вообще, обозначения не могут быть верными или неверными. Могут быть более часто или менее часто используемыми.

Vladimir Pliassov в сообщении #1479310 писал(а):

и эту запись можно назвать условной, потому что условием здесь является договоренность, что, несмотря на некорректность выражения $\{a_i\}=\{a_1, \cdots, a_i, \cdots, a_n \}$, имеется в виду, что $\{a_i\}$ и $\{a_1, \cdots, a_i, \cdots, a_n \}$ обозначают одно и то же множество.

Да, можете так и считать, если хотите. Всё это глубоко неважно.

[nnosipov]

Mikhail_K в сообщении #1479313 писал(а):

А вот $\{a_1,\ldots,a_i,\ldots,a_n\}$ часто пишут.

Да, особенно в таком виде $\{a_1,\ldots,a_{\hat{i}},\ldots,a_n\}$ или $\{a_1,\ldots,a_{[i]},\ldots,a_n\}$. Что действительно довольно удобно.

[Vladimir Pliassov]

Mikhail_K

Mikhail_K в сообщении #1479313 писал(а):

Я бы написал $\{a_i\}_{1\leq i\leq n}=\{a_1,\ldots,a_n\}$.

Спасибо, это правда хорошая форма.

-- 15.08.2020, 20:20 --

nnosipov

nnosipov в сообщении #1479316 писал(а):

Mikhail_K в сообщении #1479313 писал(а):

А вот $\{a_1,\ldots,a_i,\ldots,a_n\}$ часто пишут.

Да, особенно в таком виде $\{a_1,\ldots,a_{\hat{i}},\ldots,a_n\}$ или $\{a_1,\ldots,a_{[i]},\ldots,a_n\}$. Что действительно довольно удобно.

Спасибо. А что за значок над $i$ у Вас в первых скобках, и почему во вторых скобках $i$ стоит в квадратных скобках?

[nnosipov]

Vladimir Pliassov в сообщении #1479324 писал(а):

А что за значок над $i$ у Вас в первых скобках, и почему во вторых скобках $i$ стоит в квадратных скобках?

Так пишут, когда хотят сказать, что множество состоит из всех элементов, кроме $i$-го. То есть, это способ записать множество $\{a_1,\dots,a_{i-1},a_{i+1},\dots,a_n\}$ (здесь $i$ --- фиксированный индекс). Это множество, содержащее все элементы, кроме одного какого-то.

[Vladimir Pliassov]

nnosipov

Спасибо.