Об одном симметричном случайном блуждании

[nnosipov]

alisa-lebovski в сообщении #1477926 писал(а):

Иначе кто-нибудь из авторов перечисленных книг, которые Вы читали, давно бы уже это сделали.

Вот это нехитрое, но разумное соображение я неоднократно пытался донести до ТС в его предыдущих темах, подобных этой. Да и не только я.

[alisa-lebovski]

Попробую еще раз объяснить разницу между случайной величиной и случайным блужданием. Да, и функцию Мебиуса, и функцию Мертенса можно считать случайными величинами, заданными на $\Omega=[1,n]$. Допустим, у нас есть обобщенный игральный кубик, который может выпадать числами от $1$ до $n$. Бросая кубик, получаем случайное число $\nu_n$, берем $\mu(\nu_n)$ или $M(\nu_n)$ - это случайные величины, спору нет. Предположим, мы строили бы функцию Мертенса так: берем $M(n-1)$, бросаем кубик на $[1,n]$, выпадает $\nu_n$, прибавляем $\mu(\nu_n)$, получаем $M(n)$, потом бросаем кубик на $[1,n+1]$, выпадает $\nu_{n+1}$, прибавляем $\mu(\nu_{n+1})$, получаем $M(n+1)$ и т.д. Тогда это было бы случайное блуждание, правда неоднородное, но асимптотически однородное и асимптотически симметричное. Но ведь мы не так делаем! Мы прибавляем к $M(n-1)$ не случайное $\mu(\nu_n)$, а вполне определенное $\mu(n)$, которое однозначно определяется предыдущими значениями $\mu(1),\dots,\mu(n-1)$ или же предыдущими значениями $M(1),\dots, M(n-1)$ (если брать их разности).

[vicvolf]

alisa-lebovski в сообщении #1477872 писал(а):

$$\sum_{n=1}^\infty\frac{\mu(n)}{n^s}=\frac{1}{\zeta(s)},$$

Кстати, формула справедлива только тогда, когда сходится ряд слева, т.е. при $s>1$. Один мой знакомый, известный специалист по функции Римана, читал одну статью на эту тему и встретил эту формулу без условия. После этого он сказал, что дальше статью читать не будет. Мне проще, я не такой известный

alisa-lebovski в сообщении #1477926 писал(а):

Цитата:

Это нужно доказать, что я и пытаюсь сделать.

Пока Ваше доказательство для функции Мертенса проходит и для моей функции, а значит, неверно.

Не значит, я ниже поясню почему.

Цитата:

Ну нельзя доказать то, чего нет. Иначе кто-нибудь из авторов перечисленных книг, которые Вы читали, давно бы уже это сделали.

Так нельзя рассуждать, так как это значит, что нельзя доказать ничего нового.

Цитата:

Цитата:

Здесь надо не функцию Мебиуса, а усеченную функцию Мебиуса.

Но асимптотику функции Мертенса Вы хотите на бесконечности.

Вот здесь я поясню. Я уже сказал, что естественно арифметические функции вполне детерминированные, в том числе функция Мертенса и Ваша функция. Но их можно представить, как случайные величины на начальном отрезке натурального ряда со значениями равными значениям арифметических функций на этом интервале. Далее можно определить математическое ожидание, дисперсию, функцию распределения и другие нужные вероятностные характеристики на данном интервале. Таким образом, любую арифметическую функцию можно представить, как случайную величину, в том числе и усеченную функцию Мебиуса, о которой я говорил. Усеченная функция Мебиуса во всех точка интервала $[1,n-1]$ равна 0, а в точке $n$ равна $\mu(n)$. Следовательно,ту прибавку, о которой я писал в доказательстве, можно рассматривать, как случайную величину.

[alisa-lebovski]

Цитата:

Не значит, я ниже поясню почему.

Пока я не вижу, в чем, по-Вашему, принципиальная разница между функциями.

Цитата:

Так нельзя рассуждать, так как это значит, что нельзя доказать ничего нового.

Нет, потому что Ваше доказательство элементарно (если было бы верно), и конечно было бы кем-то проведено.

Цитата:

Усеченная функция Мебиуса во всех точка интервала $[1,n-1]$ равна 0, а в точке $n$ равна $\mu(n)$. Следовательно,ту прибавку, о которой я писал в доказательстве, можно рассматривать, как случайную величину.

Вы это "усечение" сами придумали или как? Во-первых, наверное, не нулю надо полагать равным, а везде $\mu(n)$, чтобы получилось. Во-вторых, в доказательстве Вы опираетесь на свойства прибавки - настоящей функции Мебиуса как случайной величины, а "усеченная" теми же свойствами не обладает.

И наконец, еще раз повторю. Функцию одного аргумента можно считать случайной величиной потому, что случайная величина - это функция одного аргумента - элементарного исхода $\omega$, и числа отрезка $[1,n]$ можно отождествить с элементарными исходами. А случайный процесс - это функция двух аргументов - элементарного исхода и времени. Поэтому никакую функцию одного аргумента считать случайным процессом (в том числе, случайным блужданием или цепью Маркова) нельзя.

[vicvolf]

alisa-lebovski в сообщении #1477983 писал(а):

Цитата:

Вы это "усечение" сами придумали или как? Во-первых, наверное, не нулю надо полагать равным, а везде $\mu(n)$, чтобы получилось. Во-вторых, в доказательстве Вы опираетесь на свойства прибавки - настоящей функции Мебиуса как случайной величины, а "усеченная" теми же свойствами не обладает.

Для получения всех значений функции Мертенса в точках $[1,n]$ усеченная функция Мебиуса складывается с усеченной функцией Мертенса, которая в точках $[1,n-1]$ равна значениям функции Мертенса, в в точке $n$ равна $M(n-1)$.

[Lia]

alisa-lebovski
Не хотелось встревать в ваш разговор, но всем будет лучше, если Вы выборочное цитирование будете оформлять с помощью кнопки "Вставка" в цитируемом посте, предварительно выделяя мышью нужный фрагмент текста.

[alisa-lebovski]

vicvolf в сообщении #1477985 писал(а):

Для получения всех значений функции Мертенса в точках $[1,n]$ усеченная функция Мебиуса складывается с усеченной функцией Мертенса, которая в точках $[1,n-1]$ равна значениям функции Мертенса, в в точке $n$ равна $M(n-1)$.

Кто бы мог подумать, какая хитрая конструкция! Ну, допустим. И что это меняет? Во-первых, усеченные функции Мебиуса и Мертенса не обладают свойствами настоящих функций Мебиуса и Мертенса. Во-вторых, они не являются независимыми, как требуется для случайного блуждания. Усеченная функция Мебиуса полностью определяется усеченной функцией Мертенса. Вы ни на какие возражения не ответили.

[vicvolf]

alisa-lebovski в сообщении #1477992 писал(а):

Во-первых, усеченные функции Мебиуса и Мертенса не обладают свойствами настоящих функций Мебиуса и Мертенса. Во-вторых, они не являются независимыми, как требуется для случайного блуждания. Усеченная функция Мебиуса полностью определяется усеченной функцией Мертенса. Вы ни на какие возражения не ответили.

Функция Мебиуса зависит от предыстории, поэтому я пытался ввести усеченную функцию Мебиуса, которая не зависила бы. Но она, к сожалению, зависит через вероятности.

-- 08.08.2020, 17:57 --

nnosipov в сообщении #1477934 писал(а):

alisa-lebovski в сообщении #1477926 писал(а):

Иначе кто-нибудь из авторов перечисленных книг, которые Вы читали, давно бы уже это сделали.

Вот это нехитрое, но разумное соображение я неоднократно пытался донести до ТС в его предыдущих темах, подобных этой. Да и не только я.

Кстати один из известных авторов Granville, Andrew, на которого я ссылался, который уточнил модель простых чисел Крамера, тоже сторонник гипотезы, что асимптотика функции Мертенса подчиняется закону повторного логармфма.

Вообше все что касается простых чисел это сплошные гипотезы. Еще не доказана бесконечность простых близнецов, но уже есть первая гипотеза Харди-Литтлвуда, которая оценивает асимтотику их количества и.т.д. Притом большинство гипотез теории простых чисел обоснованы вероятностными методами.

[vicvolf]

alisa-lebovski в сообщении #1477961 писал(а):

Попробую еще раз объяснить разницу между случайной величиной и случайным блужданием. Да, и функцию Мебиуса, и функцию Мертенса можно считать случайными величинами, заданными на $\Omega=[1,n]$. Допустим, у нас есть обобщенный игральный кубик, который может выпадать числами от $1$ до $n$. Бросая кубик, получаем случайное число $\nu_n$, берем $\mu(\nu_n)$ или $M(\nu_n)$ - это случайные величины, спору нет. Предположим, мы строили бы функцию Мертенса так: берем $M(n-1)$, бросаем кубик на $[1,n]$, выпадает $\nu_n$, прибавляем $\mu(\nu_n)$, получаем $M(n)$, потом бросаем кубик на $[1,n+1]$, выпадает $\nu_{n+1}$, прибавляем $\mu(\nu_{n+1})$, получаем $M(n+1)$ и т.д. Тогда это было бы случайное блуждание, правда неоднородное, но асимптотически однородное и асимптотически симметричное. Но ведь мы не так делаем! Мы прибавляем к $M(n-1)$ не случайное $\mu(\nu_n)$, а вполне определенное $\mu(n)$, которое однозначно определяется предыдущими значениями $\mu(1),\dots,\mu(n-1)$ или же предыдущими значениями $M(1),\dots, M(n-1)$ (если брать их разности).

Хороший пример. Большое спасибо! А как Вы понимаете вероятностную модель, например, функции Мебиуса, когда считается, что на интервале $[1,n]$ она является случайной величиной, у которой каждое ее значение $\mu(1),...,\mu(n)$ равновероятно?

[alisa-lebovski]

vicvolf в сообщении #1478005 писал(а):

Хороший пример. Большое спасибо! А как Вы понимаете вероятностную модель, например, функции Мебиуса, когда считается, что на интервале $[1,n]$ она является случайной величиной, у которой каждое ее значение $\mu(1),...,\mu(n)$ равновероятно?

Так я же об этом и пишу. Еще раз. Допустим, у нас есть обобщенный игральный кубик, который может выпадать числами от $1$ до $n$, равновероятно. Бросая кубик, получаем случайное число $\nu_n$, берем $\mu(\nu_n)$ - вот и случайная величина. Именно в таком смысле оно и понимается, а как же еще.

[vicvolf]

alisa-lebovski в сообщении #1478006 писал(а):

Допустим, у нас есть обобщенный игральный кубик, который может выпадать числами от $1$ до $n$, равновероятно. Бросая кубик, получаем случайное число $\nu_n$, берем $\mu(\nu_n)$ - вот и случайная величина. Именно в таком смысле оно и понимается, а как же еще.

А как бы Вы в этом случае определяли бы мат. ожидание функции Мебиуса на интервале $[1,n]$? Ведь могут несколько раз выбраны, допустим $\mu(5)$, а некоторые значения вообще не выбраны?

[alisa-lebovski]

vicvolf в сообщении #1478010 писал(а):

А как бы Вы в этом случае определяли бы мат. ожидание функции Мебиуса на интервале $[1,n]$? Ведь могут несколько раз выбраны, допустим $\mu(5)$, а некоторые значения вообще не выбраны?

Вы путаете математическое ожидание (теоретическое среднее) с выборочным средним. Посмотрите определение математического ожидания.

[vicvolf]

alisa-lebovski в сообщении #1478013 писал(а):

vicvolf в сообщении #1478010 писал(а):

А как бы Вы в этом случае определяли бы мат. ожидание функции Мебиуса на интервале $[1,n]$? Ведь могут несколько раз выбраны, допустим $\mu(5)$, а некоторые значения вообще не выбраны?

Вы путаете математическое ожидание (теоретическое среднее) с выборочным средним. Посмотрите определение математического ожидания.

Извините, это Вы описали процесс выборки. На самом деле все значения берутся последовательно и поэтому все. По ним определяется мат. ожидание и другие характеристики. Если значения будут выбираться не последовательно, то какая может асимптотика?

[alisa-lebovski]

vicvolf в сообщении #1478020 писал(а):

Извините, это Вы описали процесс выборки. На самом деле все значения берутся последовательно и поэтому все. По ним определяется мат. ожидание и другие характеристики. Если значения будут выбираться не последовательно, то какая может асимптотика?

Вам все-таки необходимо повторить теорию вероятностей и математическую статистику. Есть теоретические характеристики, а есть выборочные. Да, я написала про кубик. Но как определяется математическое ожидание числа очков, выпадающих на кубике? Не путем бросания кубика, а путем перемножения чисел на гранях на их вероятности и сложения. Причем сложение происходит не последовательно, а в совершенно любом порядке (это принципиально в случае счетного числа значений, математическое ожидание существует только для абсолютно сходящихся рядов, члены которых можно произвольно переставлять без изменения результата). Все значения случайной величины вместе с их вероятностями можно переставлять произвольно, рассматривать в любом порядке, от этого ничего не изменится. Это не последовательность, это происходит вне времени.

Собственно в этом и проблема. Нельзя отождествлять грани кубика (существующие одновременно рядом в пространстве, которые можно рассматривать в любом порядке) и моменты времени. Или, как я писала раньше, нельзя заменять элементарные исходы на время, в качестве аргументов функции.

[vicvolf]

alisa-lebovski в сообщении #1478028 писал(а):

(это принципиально в случае счетного числа значений, математическое ожидание существует только для абсолютно сходящихся рядов, члены которых можно произвольно переставлять без изменения результата).

У нас конечное вероятностное пространство, поэтому счетная аддитивность не выполняется. Случайная величина принимает конечное число значений и бесконечных рядов нет. Кстати, как Вы рассматривается асимптотику случайной величины в данном случае?