Иррациональное уравнение

[Unmensch]

Добрый день!

Помогите, пожалуйста, решить следующие уравнение:

$\frac{1}{2}-x^2 = \sqrt{\frac{1}{2}-x}$

Возведение в квадрат ничего хорошего не принесло. Единственное, с помощью графиков удалось выяснить, что корень единственный и лежит в интервале (0; 0,5). Но не понимаю, что делать дальше.

[ИСН]

После возведения в квадрат надо было усмотреть в получившейся штуке разность квадратов, и следовательно, угадать её разложение на $\left(x^2-x+{1\over2}\right)\left(x^2+x-{1\over2}\right)$.

[Unmensch]

ИСН в сообщении #1477598 писал(а):

После возведения в квадрат надо было усмотреть в получившейся штуке разность квадратов, и следовательно, угадать её разложение на $\left(x^2-x+{1\over2}\right)\left(x^2+x-{1\over2}\right)$.

Спасибо большое!
Оказывается, было довольно нетрудно :)

[Brukvalub]

Графики взаимно-обратных функций могут пересечься только на биссектрисе первого координатного угла.

[FEBUS]

Перепишем так:
$ \quad x=\frac{1}{2}-(\frac{1}{2}-x^2)^2. $

Уравнение имеет вид
$ \quad x=f(f(x)), $ где $ \quad f(x) = \frac{1}{2}-x^2 $.

$ x=f(f(x)) \quad \Longleftrightarrow \quad x=f(x)= \frac{1}{2}-x^2 $ при $f(x)\uparrow$.

Понятно, как раскладывается уравнение 4-й степени.
$ x-\frac{1}{2}+(\frac{1}{2}-x^2)^2 =\left(x^2-x+{1\over2}\right)\left(x^2+x-{1\over2}\right)$

Brukvalub в сообщении #1477637 писал(а):

Графики взаимно-обратных функций могут пересечься только на биссектрисе первого координатного угла.

Ну, это вы, батенька, загнули!

[svv]

График $y=\frac 1 2-x^2$ пересекает луч $y=x\geqslant 0$ ? Значит, и график обратной функции проходит через эту же точку пересечения.

[nnosipov]

Претензии здесь к слову "только". Например, есть вот такое уравнение: $(1/16)^x=\log_{1/16}{x}$.

[SomePupil]

nnosipov в сообщении #1477768 писал(а):

Например, есть вот такое уравнение: $(1/16)^x=\log_{1/16}{x}$.

Магия! Я, вроде, и графики нарисовал, и корни нашел, подставил - все сошлось, а все равно ничего не понял... Интуиция школьная о том, что графики взаимно-обратных симметричны относительно $y=x,$ не сдается даже такому железобетону.

[EUgeneUS]

SomePupil в сообщении #1477772 писал(а):

Интуиция школьная о том, что графики взаимно-обратных симметричны относительно $y=x,$ не сдается даже такому железобетону.

Симметричны.
Пусть график $f(x)$ проходит через две точки, которые не лежат на $y=x$ и симметричны относительно этой прямой. Что будет с графиком обратной функции?

[RIP]

(Оффтоп)

Ещё есть такой трюк. Уравнение имеет вид $a-x^2=\sqrt{a-x}$, где $a=1/2$. Оно сводится к квадратному относительно $a$…

[TOTAL]

$\frac{1}{2}-x-x^2 = \sqrt{\frac{1}{2}-x}-x$
Слева разность квадратов

[nnosipov]

(Оффтоп)

Кстати, в той статье из "Кванта", откуда я взял уравнение с логарифмом, предлагается решить $\sqrt{a+\sqrt{a+x}}=x$ для каждого $a$.

[SomePupil]

EUgeneUS в сообщении #1477781 писал(а):

Пусть график $f(x)$ проходит через две точки, которые не лежат на $y=x$ и симметричны относительно этой прямой.

Теперь понимаю. Абсциссы этих точек будут решениями уравнения $f(x)=f^{-1}(x)\,,$ потому что через них будут проходить оба графика.

[svv]

Математика часто удивляет, но лично меня — не в этот раз. Конечно, точки пересечения могут быть не только на биссектрисе. Представлял себе что-то вроде такого:
Wolfram|Alpha: plot y=sin(10*x); x=sin(10*y)
Хотя здесь обратная функция многозначна, не было сомнений, что это несложно исправить с сохранением эффекта.

[Brukvalub]

(Оффтоп)

FEBUS в сообщении #1477741 писал(а):

Ну, это вы, батенька, загнули!

Согласен, в общем случае это ошибочное суждение.