Шар и сфера

[pogulyat_vyshel]

Где-то в космосе плывет однородная тонкая сфера массы $M$ и радиуса $R$. По внутренней поверхности сферы катается без проскальзывания и не теряя контакта однородный шар массы $m$, радиуса $r,\quad r<R$. Описать движение центров сферы и шара относительно инерциальной системы ,связанной с центром масс.

[realeugene]

Исходя только из подсчёта размерности фазового пространства системы, количества следующих из законов сохранения и кинематических связей алгебраических уравнений и симметрий системы рискну предположить, что асимптотически центр малого шарика будет двигаться с постоянной скоростью по окружности основания фиксированного конуса с вершиной в цм системы. Движение центра большого шара аналогично, так как центр масс неподвижен.

[Ignatovich]

Что шар на поверхности сферы удерживает? какие-то негравитационные силы есть?

-- 25.07.2020, 16:28 --

Понял... ...скорость начальную сообщили.

[realeugene]

(Подробно)

По 6 степеней свободы на каждую сферу, полная размерность фазового пространства для двух сфер - 24.

Центр масс неподвижно закреплён в начале координат - 3 уравнения на его координаты и как следствие 3 на скорости.
Расстояние между центрами шаров фиксировано - 1 уравнение на расстояние и как следствие 1 на производную расстояния.
В точке контакта нет проскальзывания - 2 уравнения на скорости
Закон сохранения энергии системы - 1 уравнение
Закон сохранения момента импульса системы - 3 уравнения

Всего 14 уравнений, осталось 10 свободных переменных.
Далее симметрии. У каждой сферы три произвольных угла поворота, от которых ничего не зависит - 6 переменных не входят в уравнения
Поворот глобальной системы координат в данный момент можно выбрать произвольно - ещё три переменные не свободные. Выберем для ясности поворот глобальной системы координат так, чтобы в данный момент направление на центр малого шара было по OX, а направление скорости центра малого шара было по OY.

Осталась одна свободная переменная, от которой должны зависеть все остальные переменные и их производные, с учётом симметрий. В том числе, для этой переменной динамическое уравнение должно быть возможно нелинейным дифференциальным уравнением первого порядка. У этого уравнения не может быть колебательных режимов, а так как область изменения этого параметра ограничена, в пределе $t\to\infty$ его решение стационарно - переменная стремится к некоторому пределу.

Следовательно, в этом пределе модуль скорости шарика, определяемый величиной этой переменной, постоянен, а ускорение постоянно по модулю и ортогонально его скорости. Следовательно, центр шарика движется по окружности.

Правда, возникает вопрос, не учел ли я симметрии пространства при повороте глобальной системы координат дважды: в законе сохранения импульса и в самом конце? Кажется, нет.

[realeugene]

Осталось добавить, что несложно придумать начальное состояние, движение из которого будет нестационарным в выбранных вращающихся координатах. А значит, будет и переходный процесс к асимптотически стационарному состоянию. Что крайне любопытно, так как потерь механической энергии в задаче нет.

[Red_Herring]

realeugene в сообщении #1475899 писал(а):

В том числе, для этой переменной динамическое уравнение должно быть возможно нелинейным дифференциальным уравнением первого порядка. У этого уравнения не может быть колебательных режимов, а так как область изменения этого параметра ограничена

В самом деле? Рассмотрим самое простое 1-мерное уравнение гармонических колебаний $x''=-x$. У него есть закон сохранения энергии $x'^2+x^2=2E$. Из него находим $x'=\pm \sqrt{2E-x^2}$. Вот только у него есть колебательный режим. Почему, догадайтесь сами.

[realeugene]

Red_Herring в сообщении #1475982 писал(а):

Из него находим $x'=\pm \sqrt{2E-x^2}$. Вот только у него есть колебательный режим. Почему, догадайтесь сами.

Да, спасибо, вижу причину. Но главная проблема там всё же в том, что нельзя одновременно записывать закон сохранения момента импульса и произвольно крутить глобальные координаты. А это введением нескольких ветвей не лечится.

[realeugene]

В общем, законы сохранения оставляют трёхмерное многообразие решений. В качестве трёх динамических переменных, вероятно, можно взять $\theta, \dot\theta, \dot\varphi$ направления от центра масс на центр шарика по отношению к оси, заданной моментом импульса системы. И, возможно даже, эта нелинейная система из трёх дифуров первого порядка будет решаться. Но мне лень её выписывать явно и интегрировать.