Равносильность инъективности и равенства прообраза

[VoprosT]

Требуется доказать следующее утверждение: $f:X\toY$ - инъекция $\Leftrightarrow$ для любого $A \subset X$ верно, что $f^{-1}(f(A)) = A$. Причём уже известно, что А всегда включено в прообраз своего образа.
Слева направо нетрудно доказать вложение $f^{-1}(f(A)) \subset A$ от противного и получить их равенство:
Пускай $x’ \notin A$, тогда в силу инъективности $f$ верно, что $f(x’) \ne f(x) \forall x \in A$, тогда $f(x’) \notin f(A)$. То есть $f(x) \in f(A) \Rightarrow x \in A$.
А вот в другую сторону(когда дано $f^{-1}(f(A)) = A$) у меня возникают какие-то сложности, если делать от противного. Предположим, что нет инъективности, тогда $\exists x_{1} \ne x_{2} \in X \Rightarrow f(x_1) = f(x_2) $. И противоречия с условием особо не возникает..
Объясните,пожалуйста,где я свернул не туда

[пианист]

Возьмите в качестве $A$ множество $\{x_1\}$

[gefest_md]

VoprosT
Если я правильно понял, Вы решаете упражнение из Зорича. Только в этом упражнении надо доказать эквивалентность пяти утверждений, a) - e) (2012, стр.28). Вы привели утверждения a) и b). Скорее всего здесь может получиться доказать цепочку импликаций a)$\Rightarrow$...$\Rightarrow$e)$\Rightarrow$a). Тогда будет верно и то, что a) эквивалентно b).

[VoprosT]

пианист,спасибо,разобрался.

gefest_md в сообщении #1476098 писал(а):

VoprosT
Если я правильно понял, Вы решаете упражнение из Зорича. Только в этом упражнении надо доказать эквивалентность пяти утверждений, a) - e) (2012, стр.28). Вы привели утверждения a) и b). Скорее всего здесь может получиться доказать цепочку импликаций a)$\Rightarrow$...$\Rightarrow$e)$\Rightarrow$a). Тогда будет верно и то, что a) эквивалентно b).

Нет,я имел в виду упражнение 4б), про биективность. Сюръективность просто была доказана по пути в 4а),, а вот про инъективность пришлось спрашивать

[Lia]

Эмоционально нагруженный балласт отделен.

Просьба не додумывать за собеседника его намерений.