Определение взаимно-однозначного соответствия

[DaddyM]

Вот такое определение взаимно-однозначного соответствия я встретил в книге И.В.Арнольда (отец) "Теоретическая арифметика" (см. скриншот):



По этому определению я могу построить вот это:



Здесь каждому элементу M (синий) соответствует один и только один элемент множества N (зелёный) и обратно.

При этом построение не является взаимно-однозначным соответствием.

Помогите понять, где моя ошибка в чтении этого определения.

[Mihr]

У Вас верхний зелёный кружок поставлен в соответствие сразу трём синим кружкам.

[pogulyat_vyshel]

речь очевидно идет об одном соответствии а не о двух разных

[Pphantom]

DaddyM в сообщении #1476068 писал(а):

Помогите понять, где моя ошибка в чтении этого определения.

Словосочетание "взаимно-однозначное соответствие" употреблено в единственном числе, а вы этот факт проигнорировали.

[DaddyM]

Mihr в сообщении #1476069 писал(а):

У Вас верхний зелёный кружок поставлен в соответствие сразу трём синим кружкам.

да. но как это конкретно противоречит указанному определению?

[Mihr]

"...и обратно, каждый элемент множества $N$ поставлен в соответствие с одним и только с одним элементом множества $M$". Вот этому противоречит. Тут просто несколько шероховатая формулировка. Имеется в виду: каждый элемент множества $N$ поставлен в соответствие одному и только одному элементу множества $M$. В общем, неудачное употребление падежей Вас сбило с толку.

[Mikhail_K]

То есть не должно быть синих стрелок в одну сторону и зелёных в обратную.
А должно быть одно семейство двусторонних стрелок.

[DaddyM]

Pphantom в сообщении #1476074 писал(а):

DaddyM в сообщении #1476068 писал(а):

Помогите понять, где моя ошибка в чтении этого определения.

Словосочетание "взаимно-однозначное соответствие" употреблено в единственном числе, а вы этот факт проигнорировали.

pogulyat_vyshel в сообщении #1476070 писал(а):

речь очевидно идет об одном соответствии а не о двух разных

Mikhail_K в сообщении #1476103 писал(а):

То есть не должно быть синих стрелок в одну сторону и зелёных в обратную.
А должно быть одно семейство двусторонних стрелок.

Mihr в сообщении #1476102 писал(а):

"...и обратно, каждый элемент множества $N$ поставлен в соответствие с одним и только с одним элементом множества $M$". Вот этому противоречит. Тут просто несколько шероховатая формулировка. Имеется в виду: каждый элемент множества $N$ поставлен в соответствие одному и только с одному элементу множества $M$. В общем, неудачное употребление падежей Вас сбило с толку.

вооот. я так годами считал, пока не наткнулся вот на это доказательство факта сторона квадрата равномощна квадрату . Радемахер и Теплиц "Числа и Фигуры". Отсылку на их доказательство делает сам Арнольд из своей книги. Равномощность доказывается через построение взаимно-однозначного соответствия. И вот тут я прифигел - Радемахер с Теплицем строят два отдельных соответствия. С ними не поспоришь и выходит, что не обязательно, что взаимно-однозначное соответствие строится одним законом в обе стороны.

С этой позиции определение, которое привёл Арнольд в начале своей книги, выглядит неоднозначным. Что думаете?

[Mihr]

По-моему, здесь равномощность доказывается не через построение биекции, а так: сначала доказывается, что первое множество имеет мощность не выше второго, затем - что и, наоборот, второе множество имеет мощность не выше первого. Для этой цели вполне годится построение двух разных отображений. Но это уже не имеет отношения к исходному вопросу данной темы.

[eugensk]

Не-не, здесь рассматриваются разные соответствия (я насчитал три), последнее оказывается взаимно-однозначным, а первые два нет. Первые два послужили педагогической цели, и отброшены, а третье осталось, и ТС запутался.

[Утундрий]

Основная проблема восприятия "бессмертного наследия" Бурбаки есть банальное незнание французского. Зачем вы мучаетесь? Говорите просто: отображение "в", отображение "на"...

[DaddyM]

eugensk в сообщении #1476117 писал(а):

Не-не, здесь рассматриваются разные соответствия (я насчитал три), последнее оказывается взаимно-однозначным, а первые два нет. Первые два послужили педагогической цели, и отброшены, а третье осталось, и ТС запутался.

перечитал. да.
Радемахер и Теплиц строят взамно-однозначное соответствие между точками стороны квадрата и точками квадрата.

-- 27.07.2020, 23:57 --

с определением Арнольда можно ужиться, если определить понятие соответствие.

Полез в "Математическую энциклопедию" (1988 ред Прохоров). В ней определение взаимно-однозначного соответствия даётся в точности такое же как и в скриншоте из "Теоретической арифметики" Арнольда выше.



НО. Есть определение термина соответствие, которого Арнольд не даёт.



Соответствие есть произвольное подмножество декартова произведения - по сути множество. Когда я перечитал определение взаимно-однозначного соответствия представляя его множеством пар, тут всё стало однозначным. Есть множество пар, в котором каждому элементу (пусть на первом месте в паре) множества M соответствует единственный элемент множества N и обратно. Отсюда следует, что каждый элемент множества M фигурирует в этом множестве пар единожды и обратно каждый элемент множества N.

Без предварительного определения соответствие = множество пар определение из Теоретической Арифметики оказалось неоднозначным для меня, хотя я знаю, что такое ВОС (биекция, 1-1 соответствие).

Коллеги, спасибо за поддержку.

[eugensk]

Утундрий

Бурбаки, еще Mengenlehre, да :)

Цитата:

Понимание всех более глубоких слоев Канторовской доктрины без свободного владения немецким языком невозможно.

PS В программистском резюме я встречал "глубокое понимание GUID", и вижу аналогию с цитатой. Я профан, конечно.

[Doggonzo]

DaddyM в сообщении #1476336 писал(а):

Теоретической Арифметики

Извиняюсь, что не по теме, но хотелось бы узнать издание какого года у вас имеется? у меня 1938 г., но я знаю, что есть издание 1939 г. обновленное.
Может кто знает, где найти издание 1939 г.?

[svv]

(Оффтоп)

У вас «Молот ведьм» какого года издания? У меня 1487 г., но я знаю, что есть издание 1488 г., обновлённое.