Определение сложения натуральных чисел

[Doggonzo]

Здравствуйте.
Помогите, пожалуйста, разобраться в определении сложения натуральных чисел, а именно:
1) $a+1=a'$;
2) $a+b'=(a+b)'$
Собственно вопросы:
a) В чем ошибка проведения индукции по $b$? Правильно ли я понимаю, что если попытаться доказать по аксиоме индукции, то на на моменте доказательства для $b'$ появляется $a+b$, а оно еще не определено. Или вообще нельзя проводить индукцию по $b$, так как мы должны перед доказательством определить то множество $T$, для которого мы применяем аксиому индукции, например, "при фиксированном $a$ множество $T$ состоит их тех $b$ для которых число $a+b$ определено" - и это утверждение тоже содержит число $a+b$, которое еще не определено.

б) При доказательстве сложения используют индукцию по $a$, но ведь там тоже определяют некоторое множество $M$ - множество, тех чисел $a$ для которых существует соответствие, сопоставляющее с каждым $b$ число $a+b$. В чем разница?
И еще один момент. При проведении индукции для $a=1$, на основании чего вводят число $a+b=b'$?

В общем, запутался. Прошу помощи.
Спасибо за внимание.

[Padawan]

Doggonzo в сообщении #1475169 писал(а):

При доказательстве сложения

Что это значит? Здесь пропущено какое-то слово. Свойств сложения, или, может быть, существования сложения? Что доказать хотите?

[Doggonzo]

Padawan в сообщении #1475174 писал(а):

Что это значит?

Доказательство существования сложения, т.е. что существует число $a+b$ обладающее свойствами 1) и 2) при любых $a$ и $b$

[Padawan]

При фиксированном $a$ доказывается, что функция $f(b)=a+b\colon \mathbb N\to\mathbb N$, удовлетворяющая нужным условиям, существует и единственна. Это является частным случаем более общей теоремы о рекурсивном определении функции на $\mathbb N$: если есть множество $X$ и отображение $g\colon X\to X$, то для любого элемента $c\in X$ существует единственное отображение $f\colon \mathbb N\to X$ такое, что $f(1)=c$, $f(b')=g(f(b))$.

[george66]

В арифметике первого порядка предполагается, что сложение уже есть. Есть такая функция с такими свойствами, всюду определённая, её определённость доказывать не надо. Если в теории множеств определять сложение, тогда другое дело.

[Doggonzo]

george66 в сообщении #1475194 писал(а):

Если в теории множеств определять сложение, тогда другое дело.

Как я понял, что изначально школа Пеано считала, что $a+b$ определено для всех $b$, так как множество тех $b$ для которых существует $a+b$ содержит $1, b, b'$. Вот у меня и сложился вопрос под буквой "a". Но просмотрев доказательство существования сложения, например, в книге Е.Г. Гонина Теоретическая арифметика, я увидел, что доказательство проводят индукцией по "a". Как итог - не могу понять, почему индукция по $a$ "законна", в отличии от индукции по $b$.

[george66]

Если мы работаем в теории множеств, у нас нет "аксиомы индукции". Мы определяем множество натуральных чисел (довольно хитрым способом) так, чтобы индукция была верна, это будет теорема, а не аксиома. Затем мы хитроумно определяем функцию сложения с указанными свойствами. Я бы стал делать так: рассмотрим функции, определённые на начальных отрезках натурального ряда (отрезках вида $[0,n]$) и удовлетворяющие выписанным выше равенствам. Доказываем по индукции, что на каждом отрезке такая функция существует и единственна (предположим, что на отрезке $[0,n]$ уже есть и доопределим на отрезок $[0,n+1]$). Сшиваем их вместе (берём объединение функций как множеств пар) и получаем то, что надо.
P.S.Сейчас подумаю, по какому аргументу индукция. Мне кажется, что по $b$. $a$ произвольное, $b$ принадлежит отрезку $[0,n]$, индукция по этому $n$.

[Doggonzo]

george66 в сообщении #1475234 писал(а):

Мы определяем множество натуральных чисел (довольно хитрым способом)

Это вы про то, что если $a \in M$ и из $n\in M \Rightarrow n'\in M$, то $M = N$?

[george66]

Теоретико-множественное определение множества натуральных чисел (как пересечения всех "индуктивных множеств") можно найти во многих книгах по теории множеств (я сам учил теорию множеств по приложению к книге Келли "Общая топология"). Попробуйте также почитать мой ликбез (по нестандартному анализу, но и вообще)
https://mega.nz/file/a44XgSCZ#lrG-h5tHE ... 2jMaurxYPs

[Doggonzo]

george66 в сообщении #1475278 писал(а):

Попробуйте также почитать мой ликбез

Большое спасибо

[epros]

Doggonzo в сообщении #1475176 писал(а):

Доказательство существования сложения, т.е. что существует число $a+b$ обладающее свойствами 1) и 2) при любых $a$ и $b$

Этого доказывать не надо, потому что если в языке теории предусмотрен функциональный символ, значит функция существует и всюду определена. А это, в свою очередь, означает, что если существуют аргументы, то существует и значение этой функции от этих аргументов.

А свойства 1 и 2 доказывать не нужно потому, что это аксиомы. Ими, собственно, и определяется понятие сложения.

Возможно, Вы захотите доказать какое-нибудь свойство сложения, например, коммутативность: $a+b=b+a$. Вот для этого Вам уже может понадобиться и индукция, и, возможно, что-нибудь ещё.

[Doggonzo]

epros в сообщении #1476085 писал(а):

А свойства 1 и 2 доказывать не нужно потому, что это аксиомы. Ими, собственно, и определяется понятие сложения.

Спасибо за ответ. Нашел книгу Фефермана, где используется функция $Sc$ и арифметические операции вводятся как определения.

Но если смотреть книги, например, Эдмунда Ландау "Основы анализа", или, как я писал выше, Гонина Е.Г. "Теоретическая арифметика", а также "Элементарная энциклопедия математики" том 1, то там сложение вводится как определение со свойствами 1) и 2) и доказывается индукцией по $a$ как теорема. Притом в некоторых из этих книг пишут, что Пеано, определяя свойствами 1) и 2) число $a+b$, думал, что тем самым дал общее определение $a+b$, так как множество тех $b$, для которых $a+b$ определено, содержит $1$, $b$ и $b'$. Но ведь в свойстве 2) в правой части равенства стоит $a+b$, которое еще не было определено. И выход из этого - доказательство индукцией по "a".

На данный момент, я сошелся на том, что при проведении индукции по $b$, на шаге доказательства для $b'$ мы наталкиваемся на свойство 2) в котором и фигурирует $a+b$, которое мы еще только пытаемся доказать. Надеюсь я правильно понял. Но не могу понять индукции по $a$- там первый шаг начинается с $a=1$ и введением числа $a+b=b'$ - на каком основании можно так вводить число? Как я понял, это число имеет место быть, так как выполняются свойства 1) и 2) при $a=1$. И еще один момент момент, если индукция по $a$ является выходом из ситуации, то в чем принципиальное отличие, от индукции по $b$, ведь и там и там используется свойство, в котором $a+b$ еще не определено.

Как то так. Я недавно затронул эту тему и уже пожалел, но очень интересно
Куда копать, если идти этим путем?

[Padawan]

Doggonzo в сообщении #1476526 писал(а):

Притом в некоторых из этих книг пишут, что Пеано, определяя свойствами 1) и 2) число $a+b$, думал, что тем самым дал общее определение $a+b$, так как множество тех $b$, для которых $a+b$ определено, содержит $1$, $b$ и $b'$. Но ведь в свойстве 2) в правой части равенства стоит $a+b$, которое еще не было определено. И выход из этого - доказательство индукцией по "a".

Припоминаю это место в книжке Ландау. И хоть убей не понимаю, какую ошибку он увидел у Пеано. Мы определяем $a+b$ отдельно для каждого $а$, сразу для всех. То есть мы одновременно даём определение бесконечного количества унарных операций $f_a(b)=a+b$. Возможно именно это не понравилось Ландау. Но это что-то из области философии - конструктивизма, финитизма. С точки зрения обычных математических рассуждений ошибки нет.

[Doggonzo]

Padawan в сообщении #1476588 писал(а):

Припоминаю это место в книжке Ландау. И хоть убей не понимаю, какую ошибку он увидел у Пеано.

Похоже это как то связано с тем, что свойства 1) и 2) по сути являются индуктивным определением, а доказательство законности таких определений связано с введением отношения порядка для любых чисел, а не только между $a$ и $a'$. А у Пеано такого нет, т.к порядок вводится после сложения.

Спасибо за ответы!

[george66]

Я не знаю, как излагал сам Пеано. Кажется, у него была не арифметика первого порядка, а что-то промежуточное между арифметикой и теорией множеств (сейчас это называется "арифметика второго порядка"). Но это было в позапрошлом веке, с тех пор научились излагать удобнее. Гонин в любом случае не авторитет. Книжки почти всех авторитетов начиная с Гильберта-Бернайса (и некоторое количество мусора вроде Зиновьева) собраны тут
http://www.mediafire.com/file/4g54uiij5 ... f.rar/file
http://www.mediafire.com/file/cn7hskh3t ... u.rar/file
Cобиралось давно, сейчас многое есть в лучшем качестве на сайте
http://gen.lib.rus.ec/
но он блокирован на территории России.