Нецентральный хи-квадрат: асимпт. нормальность и 4 момент

[Optimizator]

Известно, что если $\eta_n\sim\chi_n^2$, то $\frac{\eta_n-{\bf E}\eta_n}{\sqrt{{\bf D}\eta_n}}\stackrel{w}{\to} {\bf N}(0,1)$ при $n\to\infty$. Не смог найти, где доказано, что это свойство сохранится и для нецентрального распределения хи-квадрат. Может быть, кто-то знает?
Пришлось доказывать самому. Но хотел бы проверить правильность формулы для $\beta_4$. Где-то ее можно найти?

{\bf Утверждение} Если $\eta_n\sim\chi_n^2(a_n)$, последовательность $\{a_n/n\}$ ограничена либо бесконечно большая при $n\to\infty$, то $\frac{\eta_n-n-a_n}{\sqrt{2n+4a_n}}\stackrel{w}{\to} {\bf N}(0,1)$.
{\bf Доказательство} Пусть $\xi_i\sim{\bf N}(\sqrt{a_n/n},1)$, $1\le i\le n$ --- независимые случайные величины. Тогда $\xi_i^2\sim\chi_1^2(a_n/n)$, $1\le i\le n$, и $\xi_1^2+\ldots+\xi_n^2\sim\chi_1^2(a_n)$, поскольку $\chi_n^2(a)*\chi_m^2(b)\sim\chi_{n+m}^2(a+b)$, что легко вытекает из определения нецентрального хи-квадрат распределения. Поэтому без ограничения общности считаем, что $\eta_n=\xi_1^2+\ldots+\xi_n^2$.

Пусть $F(x)$ - функция распределения случайной величины $\frac{\eta_n-{\bf E}\eta_n}{\sqrt{{\bf D}\eta_n}}$. Тогда cогласно теореме Берри-Эссеена
$ \sup_{x\in {\bf R}} \left| F(x)-\Phi(x) \right| \le \Delta_n:=0.469 \frac{\beta_3}{\beta_2^{3/2}\sqrt{n}},$
где $\beta_m={\bf E}|\xi_1^2-{\bf E}\xi_1^2|^m$, $m\ge1$. Достаточно доказать, что
$\beta_3/\beta_2^{3/2}=O(1)$, и тогда $\Delta_n=o(1)$.

По формуле для дисперсии нецентрального распределения хи-квадрат $ \beta_2={\bf D}(\xi_1^2)=2+4\mu^2, $
где $\mu=\mu(n)={\bf E}\xi_1=\sqrt{a_n/n}$.
Момент $\beta_3$ оценим с помощью неравенства Ляпунова $\beta_3\le \beta_4^{3/4}$.
Полагая $\xi_1=\xi+\mu$, $\xi_i\sim{\bf N}(0,1)$, получаем
$ \xi_1^2-{\bf E}\xi_1^2=\xi_1^2-\mu^2-1=(\xi_1-\mu)(\xi_1+\mu)-1=\xi^2+2\mu\xi-1. $
Отсюда с учетом равенств ${\bf E} \xi^{2k-1}=0$, ${\bf E}\xi^{2k}=(2k-1)!!$, math]$k\ge1$[/math],
и формулы
$ (a+b+c)^4=a^4+b^4+c^4+4(a^3b+ab^3+a^3c+ac^3+b^3c+bc^3)+6(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2) $
находим
$ \beta_4={\bf E}(\xi^2+2\mu\xi-1)^4={\bf E}\bigl( \xi^8+16\mu^4\xi^4+1+4(-\xi^6-\xi^2)+6(\xi^4 4\mu^2\xi^2+\xi^4+4\mu^2\xi^2 \bigr)={\bf E}\bigl( \xi^8+4\xi^6(6\mu^2-1)+\xi^4(16\mu^4+6)+4\xi^2(6\mu^2-1)+1\bigr) =105+60(6\mu^2-1)+3(16\mu^4+6)+4(6\mu^2-1)+1=48\mu^4+384\mu^2+60. $
Если последовательность $\{a_n/n\}$ ограничена, т.е. $\mu(n)=O(1)$, то $\beta_3/\beta_2^{3/2}=O(1)$. Если же $a_n/n\to\infty$, т.е. $\mu(n)\to\infty$, то $\beta_2^{3/2}\sim (4\mu^2)^{3/2}=8\mu^3$, $\beta_3=O(\mu^3)$, поэтому
$\beta_3/\beta_2^{3/2}=O(1)$.

[Otta]

По-моему, проще всего выразить нормальные распределения через стандартные линейным образом, разложить квадраты сумм, вычленить хи-квадрат и все остальное, дальше все просто по ЦПТ делается.
Ну, некоторые нюансы есть. По крайней мере, у меня возникли: исследование распадается на два случая. Но все это совсем недолго и не тяжело. Около полустраницы, если не экономить.
Четвертый момент не понадобился, ничего не могу сказать.

[Optimizator]

Пробую реализовать:
$\eta_n-n-a_n=(\xi_1+\mu_1)^2+\ldots+(\xi_n+\mu_n)^2-n-a_n=\alpha_n+\beta_n$,
где $\alpha_n=\xi_1^2+\ldots+\xi_n^2-n \stackrel{w}{\to} {\bf N}(0,2n)$,
$\beta_n=2\xi_1\mu_1+\ldots+2\xi_n\mu_n \sim {\bf N}(0,4a_n)$, $cov(\alpha_n,\beta_n)=0$.
Не соображу, как дальше строго сделать. Даже вывод $(\alpha_n/\sqrt{2n},\beta_n/\sqrt{4a_n})\stackrel{w}{\to} {\bf N}(\vec0,E)$ как обосновать?

[Otta]

Ну я как-то так: разделить-домножить на с.к.о, развалив параллельно на два слагаемых.
Единственно, вылезут два случая - когда параметр нецентральности растет быстрее $n$ и когда нет. Их рассмотреть отдельно. И там, и там получается хорошо.

Но вот хватит некоррелированности? это меня смущает. Остальное просто идеально все проходит.

Попробую, действительно, сперва многомерную ЦПТ, мне кажется, у нее хорошие шансы. Вот как у Вас.

[Otta]

Смотрите.
Очень хочется вспомогательное утверждение.
Пусть с.в. $\alpha_n\to \alpha, \ \beta_n\to\beta$. Сходимость слабая.
С.в. из первой последовательности независимы, и из второй тоже. И при всех $n$ $cov(\alpha_n,\beta_n)=0$.
Верно ли, что $\alpha_n+\beta_n\to \alpha+\beta$ (слабо)? Если нет, каков контрпример. Для независимых (а не только некореллированых) с.в. верно.

[--mS--]

Otta в сообщении #1474452 писал(а):

Если нет, каков контрпример.

Контрпример такой же, как для обычного утверждения о сумме слабо сходящихся последовательностей. Зачем нужна внутренняя независимость, непонятно, но пусть. Берём, скажем, $\alpha_n$ - независимые с.в. с трёхточечным распределением со значениями $0,\pm 1$ с равными вероятностями, $\beta_n=\alpha_n^2$. Пусть $\alpha$ имеет то же распределение, что и $\alpha_n$, $\beta$ имеет то же распределение, что и $\beta_n$ и при этом $\alpha$ и $\beta$ независимы. Тогда все условия выполнены, $\alpha_n \Rightarrow \alpha$, $\beta_n \Rightarrow \beta$, но $\alpha_n+\beta_n \not\Rightarrow \alpha+\beta$: распределение $\alpha_n+\beta_n$ двухточечное

$$\mathsf P(\alpha_n+\beta_n=0)=\frac23, \quad \mathsf P(\alpha_n+\beta_n=2)=\frac13,$$

а распределение $\alpha+\beta$ - четырёхточечное со значениями $-1, 0, 1, 2$.

(Оффтоп)

Моменты и аппроксимации (в т.ч. Уилсона - Хилферти, правда без ссылок на нормальные доказательства) выписаны в англоязычной википедии https://en.wikipedia.org/wiki/Noncentra ... stribution

[Otta]

--mS--
Спасибо!

--mS-- в сообщении #1474459 писал(а):

Моменты и аппроксимации (в т.ч. Уилсона - Хилферти, правда без ссылок на нормальные доказательства)

Да, это я видела. И где-то даже видела ссылку, хотелось обойтись без.

[ipgmvq]

что означает омега над стрелочкой, если не секрет?

[--mS--]

Это не омега, а дубль-вэ. Слабую сходимость означает (weak convergence), очевидно.

[ipgmvq]

--mS--
Спасибо! Т.е. то же, что d над стрелкой.

-- 19.07.2020, 17:17 --

А учитывая, что случайная величина, имеющая нецентральное хи-квадрат распределение с n степенями свободы, является суммой n-нного числа независимых одинаково распределенных случайных величин, имеющих нецентральное хи-квадрат распределение с 1 степенью свободы, нельзя ли подтвердить, что у случайной величины, имеющей нецентральное хи-квадрат распределение с 1 степенью свободы, конечны матожидание и дисперсия, и сослаться на классическую CLT Линдеберга-Леви?

[Otta]

ipgmvq
1) они не одинаково распределены,
2) в этом случае существования первого-второго момента недостаточно.
3) условие Линдеберга выполняется при $a_n=o(n)$ (и то надо проверить, мало ли). Если $n$ растет медленнее параметра нецентральности, условие Линдеберга не выполнено. А вот утверждение ЦПТ - наверняка выполнено.

[ipgmvq]

Otta
Спасибо за ответ. Понятно.

[ipgmvq]

Наверное, (не выполняя условия Линдеберга) можно взять условие Ляпунова CLT для удобства с дельтой 2 для суммы независимых с.в. с нецентральным хи-квадрат распределением с 1 степенью свободы. Там из неизвестных останутся только суммы квадратов мю итая в числителе и знаменателе и само n, стремящееся к бесконечности. Как Вы думаете?

[Otta]

ipgmvq
Условие Ляпунова проще проверять. Но брать его, не выполняя условия Линдеберга, никак не возможно: из выполнения условия Ляпунова следует выполнение условие Линдеберга, первое сильнее.

Тут же проблема в том, что в указанном случае (когда параметр нецентральности слишком быстро растет), даже условие Линдеберга нарушается.
Тем не менее, утверждение останется верным.

[ipgmvq]

Otta
ага, я знал, что Линдберг строже, и что Ляпунов implies Лингберг.
я имел в виду: не трогая Линдберга, взять Ляпунова, потому что он проще, с дельтой 2, потому что, мне кажется, она проще, чем дельта 1.
Может быть, я не прав, но мне кажется, что у Ляпунова (с дельтой 2) в знаменателе окажется квадрат суммы всех дисперсий с.в. с нецентральным хи-квадрат распределением с 1 степенью свободы, каждая из которых (из дисперсий) является линейной трансформацией параметра нецентральности. А в числителе окажется сумма линейной трансформации параметра нецентральности без возведения этой суммы в квадрат.
Я неверно рассуждаю?