Подалгебра

[oleg.k]

Пусть есть абелева группа $(G, +)$. Подмножество $M \subset G$ абелевой группы $G$ называется подгруппой, если оно является абелевой группой относительно сужения $+|_{M^2}$ групповой операции $+: G^2 \to G$ на $M^2$.

Аналогичные определения можно дать для колец, полей, векторных пространств. Понятно, что есть достаточные условия. Для абелевой группы, например, достаточно, чтобы $M$ было замкнуто относительно $+$, чтобы $0 \in M$ и чтобы $a \in M \Rightarrow (-a) \in M$.

Далее дело доходит до алгебр.

Винберг, стр. 41 писал(а):

Подмножество алгебры называется подалгеброй, если оно одновременно является подпространством и подкольцом.

Если я ничего не пропустил, то следуя этому определению, подалгебра некоторой алгебры не обязательно сама является алгеброй относительно сужений операций $+, \times, \cdot$ (где $\times$ - "внутреннее" умножение, $\cdot$ - умножение на элементы поля). Я сделал это вывод потому что в алгебре "внутреннее" умножение и умножение на скаляры должны быть согласованы: $(\lambda \cdot a)\times b = a \times (\lambda \cdot b) = \lambda \cdot (a \times b)$, где $a$ и $b$ - произвольные элементы носителя алгебры, а $\lambda$ - произвольный элемент поля, над которым эта алгебра задана. Если у нас есть некоторое подмножество, которое одновременно является подкольцом и подпространством векторного пространства, то "внутреннее" и "внешнее" умножения в нем не обязаны быть согласованы в смысле, указанном выше (эта согласованность из аксиом кольца и векторного пространства не следует).

Если я не ошибся в том, что эта согласованность не следует, то как так? Очевидно же, что мы хотим, чтобы подалгебра была сама алгеброй. Почему у Винберга такое определение? Может быть стоит добавить согласованность в определение подалгебры отдельным пунктом?

[mihaild]

Подразумевается, что внутреннее умножение является ограничением внешнего на наше подмножество. А т.к. согласованность (как и ассоциативность, коммутативность и т.д.) наследуется, то требовать её не обязательно.

[oleg.k]

mihaild в сообщении #1473746 писал(а):

А т.к. согласованность (как и ассоциативность, коммутативность и т.д.) наследуется, то требовать её не обязательно.

Я совсем недавно доказывал, что коммутативность и ассоциативность наследуются, а здесь почему-то проделать абсолютно аналогичные выкладки не смог . Вобщем, вопрос снят. Все там нормально наследуется.


Но опять возник другой вопрос. Есть ли какой-то общий принцип, который позволяет сказать, какие свойства операций наследуются, а какие - нет. А то делать однотипные проверки (цепочки, где операции-сужения заменяются на "большие" операции и обратно) каждый раз как то странно. Нужен общий принцип. Учитывая, что операции в подобъекте определены как сужения "больших" операций, интуитивно кажется, что все такие свойства будут наследоваться. Но это надо доказать, а перед этим надо как минимум строго определить, что такое свойство.

[mihaild]

oleg.k в сообщении #1473750 писал(а):

Есть ли какой-то общий принцип, который позволяет сказать, какие свойства операций наследуются, а какие - нет

Как минимум свойства, в которых по множеству стоят только кванторы всеобщности наследуются, а вот если есть хотя бы один квантор существования - то уже не факт.
Например, ассоциативность в замкнутом виде записывается как $\forall a,b,c: a(bc) = (ab)c$ - кванторов существования нет, и она наследуется. А вот существование обратного записывается как $\forall a \exists b: a + b = 0$ - и тут уже есть квантор существования.

[oleg.k]

mihaild в сообщении #1473756 писал(а):

Как минимум свойства, в которых по множеству стоят только кванторы всеобщности наследуются

Ну а если такое свойство: $(\forall x) x \in G$.

-- 15.07.2020, 00:09 --

Я конечно понимаю, что это не свойство операции, но что есть "свойство операции" в таком случае?

[mihaild]

oleg.k в сообщении #1473811 писал(а):

Ну а если такое свойство: $(\forall x) x \in G$.

Я же не написал, что только такие. В общем случае придется думать, наследуется ли какое-то свойство. Например сепарабельность в метрических пространствах наследуется (и это не совсем тривиально, хотя и просто), а в общих топологических - нет.

oleg.k в сообщении #1473811 писал(а):

это не свойство операции, но что есть "свойство операции" в таком случае?

Так и изначально речь была не про свойство операции. Речь была про свойство множества $M \subseteq G$.

[oleg.k]

mihaild в сообщении #1473812 писал(а):

Так и изначально речь была не про свойство операции. Речь была про свойство множества $M \subseteq G$.

Это сильно общая постановка вопроса наверное. Мне бы хватило хотя бы про свойства операций.

Есть еще очень родственный вопрос. Вот допустим есть векторное пространство $(V, +, \cdot)$. Мы можем превратить его в алгебру, задав произвольную таблицу умножения базисных векторов. Если умножение базисных векторов обладает каким то свойством (коммутативность, ассоциативность, тождество Якоби, антикоммутативность) то умножение в алгебре будет обладать этим же свойством. И опять, все рассуждения однотипные, а общего принципа нету.

-- 15.07.2020, 00:31 --

Векторное пространство с базисом из $n$ векторов, разумеется.

[mihaild]

oleg.k в сообщении #1473816 писал(а):

Мне бы хватило хотя бы про свойства операций

А что вообще такое "свойства операций"?
Вообще у нас есть некоторая формула - например $\forall a, b \in M: a\cdot b = b\cdot a$. Можно считать, что она параметризована $M$, а $\cdot$ фиксировано (как в случае, когда мы рассматриваем подмножество группы и ограничение операции на это подмножество) - и тогда эта формула как раз задает свойство множества.

oleg.k в сообщении #1473816 писал(а):

Если умножение базисных векторов обладает каким то свойством (коммутативность, ассоциативность, тождество Якоби, антикоммутативность) то умножение в алгебре будет обладать этим же свойством

Это верно далеко не для всех свойств. Например для свойства "произведение равно $e_1$" это не выполнено.
Чтобы получить такой переход, нужно как раз для нашего свойства доказать, что если оно верно для пары векторов, то оно верно и для их линейной комбинации.

[vpb]

oleg.k в сообщении #1473816 писал(а):

И опять, все рассуждения однотипные, а общего принципа нету.

Есть такой принцип, очевидный. Звучит так: "для того, чтобы в алгебре над полем было выполнено некоторое полилинейное тождество от $n$ переменных, необходимо и достаточно, чтобы оно было верно для любой $n$-ки базисных векторов".

-- 15.07.2020, 03:43 --

oleg.k в сообщении #1473750 писал(а):

надо как минимум строго определить, что такое свойство.

Любая книжка по универсальной алгебре (коя на самом деле есть часть математической логики). Например Мальцев, Алгебраические системы. (отличная книжка, между прочим). Можно еще погуглить "универсальная алгебра".

[oleg.k]

vpb в сообщении #1473823 писал(а):

Есть такой принцип, очевидный. Звучит так: "для того, чтобы в алгебре над полем было выполнено некоторое полилинейное тождество от $n$ переменных, необходимо и достаточно, чтобы оно было верно для любой $n$-ки базисных векторов".

Да, похоже это как раз то, что мне и надо. И про наводку на универсальную алгебру спасибо.

mihaild, vpb спасибо за помощь.