найти все значения параметра "а", при которых единст. корень

[Ivan 09]

Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $ax-\sqrt{6x-x^2-5}+5a+2=0$ имеет единственный корень.
мои попытки.
ОДЗ $\sqrt{6x-x^2-5} ; x\in[1;5]$
Корень перенес и возвел в квадрат.
$a^2 x^2+25a^2+4+10xa^2+20a+4ax=6x-x^2-5$
Собрал слагаемые с $x^2$ и $x$
$x^2(a^2+1)+x(10a^2+4a-6)+9=0$
заметил, что коэффициент при $x^2$ всегда положительный. Получается, что единственный корень будет тогда, когда вершина параболы будет на оси $x$?
надо найти вершину по формуле $x=-\frac{b}{2a}$?
получается выражение $-\frac{10a^2+4a-6}{2(a^2+1)}$ ,которое надо приравнять к нулю?
Или есть какие-то нюансы ?

[Otta]

У Вас же область определения не вся прямая. Парабола может просто пересечь отрезок $[1,5]$ на оси. Или еще что-то. И даже в случае касания может не оказаться решений. Думайте еще.

[StaticZero]

Ivan 09 в сообщении #1473421 писал(а):

Или есть какие-то нюансы ?

А ещё я не заметил, чтобы вы в переходе от основного уравнения $\sqrt{f(x)} = g(x)$ к уравнению-следствию $f(x) = g(x)^2$ проверяли себя на тему $g(x) < 0$.

[alisa-lebovski]

Фактически речь идет о касании прямой и эллипса.

[StaticZero]

alisa-lebovski, корень это окружность

[alisa-lebovski]

StaticZero в сообщении #1473434 писал(а):

alisa-lebovski, корень это окружность

Да, точно. Тем проще. Можно вообще решить геометрически.

[matidiot]

Хорошо известная задача ЕГЭ примерно 2014 года. Решается быстро с помощью графического метода, если перебросить выражение с корнем слева направо. Тогда графиком правой части является полуокружность с центром на оси абсцисс в точке х=3 и радиусом R=2. Графиком левой части будет пучок прямых, проходящих через точку с координатами (-5;2). Первый случай, о котором говорили выше, очевиден - касание прямой (горизонтальной) полуокружности. Второй случай - прямые пучка пересекают диаметр полуокружности. Вам достаточно найти два критических значения для параметра (углового коэффициента), когда прямые проходят через концы этого диаметра (точки х=1 и х=5).

[FEBUS]

Можно по графику выписать ответ:

[StaticZero]

matidiot, FEBUS, проблема не в том, как решить графически, можно придумать тонну задач, где график построить будет весьма более проблемно, чем хорошенько подразмять функции. Вопрос в том, как их правильно разминать

[matidiot]

Вот и разминайте ступой по воде, а нам неинтересно! Проблема в том, что нынешнее поколение школьников совершенно не владеют элементарным графическим методом, а в этом случае рекомендовать им чисто алгебраические приёмы - безнадежное дело, что и видно по постам ТС, который начал чисто алгебраически, а потом стал что-то невнятное говорить про "параболу" (хотя после возведения в квадрат возникла неэквивалентная задача), а далее пошли Ваши рассуждения про "окружность" (хотя там нет никакой окружности) и "геометрические методы". Чтобы хорошенько "разминать" функции надо уметь тоже графики (эскизы) рисовать - без этого никак.

[Otta]

matidiot
Вы бы как-то упорядочились. Графическим - не владеют, следовательно, алгебраическим - безнадежно. И вообще неинтересно. Нам. (?)

[matidiot]

К сожалению даже многие учителя не понимают, что путь к алгебраическому (функциональному) методу в решении подобных задач лежит через графический метод! Часто просят дать чисто алгебраическое решение подобных задач, потому что в массе они не владеют графиками. В моей практике неоднократно возникали такие ситуации, когда после ознакомления их с графическим способом решения подобных задач, учителя требовали дать чисто алгебраическое решение, на которое уходило много времени. Более того в процессе объяснения постоянно приходилось обращаться к графическим иллюстрациям. И после этого все делали единственный вывод, что надо учить школьников рисовать графики! Что касается последней Вашей реплики, то я имел в виду не только себя, но ещё товарища, который выложил отличную картинку с лаконичной фразой - выпишите ответ!
Кстати, перечитал Ваш первый пост, Вы очень тонко, в отличие других товарищей давали понять, что у нас не вся парабола получается, а только её часть и что она может иметь одну точку пересечения с отрезком (а не всей осью абсцисс) - вот это я имел в виду, когда говорил, что алгебраический метод должен сочетаться с графическими интерпретациями!

[Ivan 09]

Спасибо за ответы, мне надо время, чтобы обдумать и постараться, исходя из вышесказанного, довести до какого-то результата(может пока промежуточного).
Мне не к спеху с решением, решаю для себя.

[StaticZero]

matidiot в сообщении #1473537 писал(а):

рекомендовать им чисто алгебраические приёмы - безнадежное дело, что и видно по постам ТС, который начал чисто алгебраически, а потом стал что-то невнятное говорить про "параболу"

Я бы не стал опираться на пример из этой темы, как на правило, знаете ли. Но да, он прикола не понял.

Просто если вы, разбирая эту и подобные задачи, алгебру проигнорируете совсем, то замени составитель под корнем $-x^2$ на $+x^2$ или там на $b x^2$ --- и всё, приехали. С алгебраической точки зрения ничего не изменилось, а с геометрической точки зрения надо рисовать гиперболы/параболы, быть в курсе хотя бы существования у первых и отсутствия у вторых асимптот, быть способным выписать условие касания пучка и произвольной кривой. Если вы рассчитываете на школьников, которые это всё умеют из коробки, то зачем им, условно говоря, вы с вашими полуокружностями?

На самом деле вы, конечно, правы, математическая культура именно что должна быть разносторонней. Но тут корни уравнений, знаете ли, бесплатно "приобретают" люди...

matidiot в сообщении #1473537 писал(а):

хотя после возведения в квадрат возникла неэквивалентная задача

Да, и я пытался обращать внимание на то, как именно забыли превратить её в эквивалентную.

(Оффтоп)

matidiot в сообщении #1473537 писал(а):

пошли Ваши рассуждения про "окружность" (хотя там нет никакой окружности)

Моё сообщение предназначалось для alisa-lebovski, если что.