Помогите получить верхнюю оценку этой суммы (вероятности)

[abs135]

Здравствуйте, уважаемые участники форума!
Помогите, пожалуйста, получить нетривиальную верхнюю оценку вот такой суммы:

$$P(A)=\sum_{i=0}^n{\left( 1 - \dfrac{\binom kq \binom {n-k}{i-q}}{\binom {n}{i}} \right)}^I \binom ni p^i {(1-p)}^{n-i}$$

.

Ввиду выпуклости степенной функции и тождества $\sum_{i=0}^n{\dfrac{\binom kq \binom {n-k}{i-q}}{\binom {n}{i}}\binom ni p^i {(1-p)}^{n-i}}=\binom kq p^q {(1-p)}^{k-q}$ нижняя оценка $P(A) \geq {\left(1-\binom kq p^q {(1-p)}^{k-q}\right)}^I$ довольно просто получается применением неравенства Йенсена, однако над получением сколько-нибудь удовлетворительной верхней оценки бьюсь уже довольно долго, но ничего не выходит.

По-видимому (и это было бы даже предпочтительно), верхняя оценка имеет вид $P(A) \leq {\left(1-x\binom kq p^q {(1-p)}^{k-q}\right)}^I$, но нахождение надлежащего коэффициента вызывает трудности.

Буду крайне признателен за помощь в этом не поддающемся моим стараниям вопросе!

[novichok2018]

Попробовать разложить большую скобку в бином?
Другой, но немного похожий результат - neoclassical inequality, by Terry Lyons, погуглите. Может что-то удастся использовать аналогичное.

[novichok2018]

I, степень большой скобки, - это натуральное число?

[Vince Diesel]

Неплохо бы уточнить, чему могут равняться и все остальные параметры в выражении.

[DeBill]

abs135 в сообщении #1471378 писал(а):

тождества $\sum_{i=0}^n{\dfrac{\binom kq \binom {n-k}{i-q}}{\binom {n}{i}}\binom ni p^i {(1-p)}^{n-i}}=\binom kq p^q {(1-p)}^{k-q}$ н

Оно было б тождеством, если бы суммирование шло в правильных пределах (от $q$ до $n+q-k$ - и тогда и бин-е к-ты были бы корректны. А без того - они каки-то сомнительные...)....

[abs135]

Извиняюсь, что сразу не ввел ограничения. Все переменные в выражении - натуральные числа за исключением $p\in[0,1]$. Взаимные ограничения между $n,k,q$ и $i$ устанавливаются исходя из условия $\binom{a}{b}=0, b>a, b < 0$, $I$ не ограничено.

[kotenok gav]

Кто такие $a$ и $b$?

[Vince Diesel]

Это выражение можно рассматривать как многочлен Бернштейна:

$$ B_n(x)=\sum_{i=0}^nf\left(\frac in\right) \binom ni x^i(1-x)^{n-i}. $$

А известно, что если функция $f$ вогнутая (и неотрицательная), то многочлены Бернштейна тоже вогнуты и монотонно возрастают, $B_n(x)\le f(x)$. Поиск дает, например, вот эту книгу. Так что, если

$$ y_i=\left( 1 - \dfrac{\binom kq \binom {n-k}{i-q}}{\binom {n}{i}}}\right)^I\ge0 $$

для всех $i$, то, заменяя точки $(i/n,y_i)$ на их вогнутую оболочку $g(x)$ на $[0,1]$, получим, что

$$ P(A)\le \max_{x\in[0,1]} g(x)= \max_{0\le i\le n}\left( 1 - \dfrac{\binom kq \binom {n-k}{i-q}}{\binom {n}{i}}}\right)^I. $$

[novichok2018]

Бернштейн-Бернулли-Борис Годунов..

[Vince Diesel]

Упс Спасибо, поправил.

[novichok2018]

Vince Diesel - мне кажется, что неравенство с максимумом справедливо без всякой науки, так как если убрать из первоначального выражения скобку со степенью, то оставшаяся сумма равна очевидно единице. А этот максимум можно вынести.
Про полиномы Бернштейна есть хорошая старая ссылка - И.П.Натансон. Конструктивная теория функций. Дожить бы до её столетия, да вряд ли сам, а остальным желаю (2049).
Максимум наверное тоже можно посчитать, отношение биноминальных коэффициентов похоже монотонно по индексу суммирования, или что-то подобное, что можно отследить. Мешает возможность отрицательного выражения $(i-q)$. Похоже что тривиальная оценка единицей сверху и есть самая лучшая.

[Vince Diesel]

novichok2018 в сообщении #1471548 писал(а):

неравенство с максимумом справедливо без всякой науки, так как если убрать из первоначального выражения скобку со степенью, то оставшаяся сумма равна очевидно единице.

Да, не заметил. Однако некая польза из этого наблюдения есть. Если заменить в скобках для $y_i$ параметр $i$ на непрерывную переменную, получим гладкую функцию с одним экстремумом (отрицательным, кстати). А поскольку $B_n(f)\rightrightarrows f$ на $[0,1]$ для непрерывной функции $f$, то для больших $n$ график полинома Бернштейна будет очень похож на график самой $f$. Так что оценку сильно лучше, чем максимум $|y_i|$, ожидать не приходится.

[novichok2018]

А максимум равен единице, например, для случая больших $q$, когда все $(i-q)$ отрицательны и в сумме все слагаемые нулевые. Иначе нужны уточнения для соотношений между параметрами.
Кажется, и минимум этого выражения можно посчитать, получится элементарная оценка и снизу, без Иенсена.

[Vince Diesel]

У меня получилось, что если положить $x=p=i/n$, то для $0<q<k$

$$\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{\binom{k}{q} \binom{n-k}{n p-q}}{\binom{n}{n p}}\right)=1-\binom{k}{q}p^q (1-p)^{k-q}. $$

Так что для больших $n$ должно быть

$$ P(A)\sim\left(1-\binom{k}{q}p^q (1-p)^{k-q}\right)^I. $$

[abs135]

Vince Diesel в сообщении #1471563 писал(а):

У меня получилось, что если положить $x=p=i/n$, то для $0<q<k$

$$\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{\binom{k}{q} \binom{n-k}{n p-q}}{\binom{n}{n p}}\right)=1-\binom{k}{q}p^q (1-p)^{k-q}. $$

Так что для больших $n$ должно быть

$$ P(A)\sim\left(1-\binom{k}{q}p^q (1-p)^{k-q}\right)^I. $$

Для больших $n$ так оно и есть, что, собственно, и вызвало интерес в получении верхней и нижней оценок. А поскольку нижняя оценка и предел совпадают, основной задачей стало нахождение верхней, которая, как представляется, должна быть очень похожа и на предел, и на нижнюю. И которую не удается найти