2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Диофантовы тройки
Сообщение19.06.2020, 21:47 
Заслуженный участник


17/09/10
1927
Пусть $a,b,c$ рациональные длины сторон прямоугольного треугольника и $a^2+b^2=c^2$.
Найдите рациональное $x$ такое, что $ab+x, bc+x, ac+x$ - квадраты рациональных чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовы тройки
Сообщение24.06.2020, 11:33 
Аватара пользователя


07/01/16
908
Аязьма
Кажется, такой подойдет: $x=\frac12(c^2-ab-bc-ca)$; действовал в лоб, выбирая произвольное ("самое простое") разложение на множители величин $c(b-a)$ и $b(c-a)$

-- 24.06.2020, 12:00 --

Как-то это подозрительно, но ошибки у себя не могу найти. Распишу целиком, пусть $bc+x=m^2,ac+x=n^2,ab+x=p^2,m,n,p\in\mathbb{Q}$. Рассматривая разности этих уравнений, видим, что $a=n-p,b=m-p,c=m+n$ этим уравнениям удовлетворяют и выражаем например $m=\frac12(b+c-a)$; подставляем его в уравнение для $bc+x$ и упрощаем выражение для $x$, используя (только здесь, в самом конце!) факт, что $a,b,c$ образуют рациональную пифагорову тройку

-- 24.06.2020, 12:22 --

Ну да, работает же! В общем случае, $x=\frac14(a^2+b^2+c^2)-\frac12(ab+bc+ca)$, дающее квадраты чисел $\frac12(-a+b+c),\frac12(a-b+c),\frac12(a+b-c)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовы тройки
Сообщение24.06.2020, 16:08 
Заслуженный участник


17/09/10
1927
Ответ верный.
Чтобы получать этот и другие ответы можно работать с другими переменными $l,t$.
Для рациональных пифагоровых троек $a=2lt, b=l(t^2-1), c=l(t^2+1)\qquad(1)$, где $l>0,t>1$ рациональные числа.
Имеем уравнение эллиптической кривой $(x+2l^2{t}(t^2-1))(x+l^2{(t^4-1)})(x+2l^2{t}(t^2+1))=y^2$
Несложно найти на ней рациональную точку $P(x,y)$, где $x=l^2(1-2t^3+t^2),y=l^3(t^4-t^3-t^2+t)$
Заменяя $l,t$ на $l=\frac{c-b}{2},t=\frac{a}{c-b}$, получим Ваш ответ для $x$. Он подходит для каждой скобки в выражении уравнения кривой.
Беря точку $2P$ на кривой, получим следующий ответ для $x$ в переменных $l,t$
$x=-\frac{l^2(t-1)(2t^2+t+1)(4t^4+2t^3+5t^2+4t+1)}{4(t^2(t+1)^2)}$
Заменяя $l=\frac{c-b}{2},t=\frac{a}{c-b}$, получаем решение в числах $a,b,c$. Оно годится для каждой скобки уравнения. Из-за громоздкости не привожу его.
Дальше можно продолжить решение для точкек $3P, 4P...$ и т. д.
Кстати, все $x$ получаются отрицательными. Нет ли всё же положительных где-то подальше. Надо посмотреть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовы тройки
Сообщение24.06.2020, 20:19 
Заслуженный участник


17/09/10
1927
Конечно, есть положительные $x$.
Для треугольника $a=4,b=3,c=5$
рациональная точка $8P$ дает
$x=\dfrac{26978732913964473937490829348083305317130266144001}{567443434632862895970730725041102873719133432064}$
и $x+12,x+15,x+20$ все квадраты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовы тройки
Сообщение08.07.2020, 15:31 
Заслуженный участник


17/09/10
1927
Справедливо следующее более общее утверждение.
Для любых трех рациональных чисел $a,b,c$, где $abc$ - квадрат ненулевого рационального числа,
найдется бесконечно много рациональных $x$ таких, что $x+a, x+b, x+c$ - квадраты рациональных чисел.
При заданных $a,b,c$ найдите хотя бы одно такое $x$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовы тройки
Сообщение08.07.2020, 15:43 
Заслуженный участник


20/12/10
7007
$a$, $b$, $c$ считаются положительными?

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовы тройки
Сообщение08.07.2020, 16:44 
Заслуженный участник


17/09/10
1927
Могут и разных знаков быть, лишь бы произведение квадрат.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовы тройки
Сообщение08.07.2020, 17:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
731
У меня есть ответ, но откуда он не помню, решения нет. Может и сам вывел :oops:

$$\[
a = mn,b = nk,c = km
\]$

$$\[
x = \frac{{\left( {m^2  + n^2  + k^2 } \right) - 2\left( {mn + nk + km} \right)}}{4}
\]$

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовы тройки
Сообщение08.07.2020, 18:37 


21/05/16
3297
Аделаида
То есть, это сведение второй задачи к первой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовы тройки
Сообщение09.07.2020, 17:40 
Заслуженный участник


17/09/10
1927
В переменных $a,b,c$ ответ выглядит так
$x=\dfrac{a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2-2abc(a+b+c)}{4abc}$.
Его можно получить, рассмотрев кривую с уравнением $y^2=(x+a)(x+b)(x+c)$.
Очевидная рациональная точка на этой кривой $P=(0,\sqrt{abc})$
x-координата точки $2P$ дает нужный результат
$x+a=\dfrac{(ab+ac-bc)^2}{4abc}$
$x+b=\dfrac{(ab-ac+bc)^2}{4abc}$
$x+a=\dfrac{(ab-ac-bc)^2}{4abc}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовы тройки
Сообщение10.07.2020, 19:35 
Заслуженный участник


17/09/10
1927
Одно замечание.
scwec в сообщении #1472886 писал(а):
Для любых трех рациональных чисел $a,b,c$, где $abc$ - квадрат ненулевого рационального числа,
найдется бесконечно много рациональных $x$ таких, что $x+a, x+b, x+c$ - квадраты рациональных чисел.

Но не для всякой тройки $a,b,c$ без дополнительных условий число искомых $x$ бесконечно.
Докажите, например,что для тройки $a=4, b=5, c=20/9$ искомое $x$ только одно.
Вопрос о том, какие условия обеспечивают бесконечность числа решений, здесь не ставится, но приветствуется, если кто-то их напишет.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group