К какой функции сходится разложение функции в ряд (ТФКП)

[artempalkin]

Добрый день всем!

Задача формулируется так:

Пусть $L=[-1,-9]\cup [-9,-9+i]\cup[-9+i,\infty+i)$ и пусть $\Omega=\mathbb C \setminus L$. Пусть $f$ - голоморфная ветвь $\operatorname{Ln}(z+1)$ в $\Omega$ такая, что $f(0)=2\pi i$. Разложить $f$ в ряд Тейлора с центром в точке $a=-1+2i$, определить радиус сходимости полученного ряда и показать, к какой функции сходится этот ряд в своем круге сходимости (указание: обратить внимание на то, что $L$ может пересекать этот круг

Ответить на вопрос о разложении в ряд вроде бы не сложно:

$\operatorname{Ln}(z+1)=\ln(z+1)+2\pi i=\left|z=t+(-1+2i)\right|=\ln(t+2i)+2 \pi i=\ln(2i(1+\frac t {2i}))+2 \pi i=\ln 2i+\ln(1+\frac t {2i})+2 \pi i=\ln 2+\frac {\pi} 2 i+2 \pi i+\ln(1+\frac t {2i})=\ln 2+\frac 5 2\pi i + \sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac {(z-(-1+2i))^n}{n(2i)^n}$

Область сходимости будет $|z-(-1+2i)|<2$

Но вот вопрос, к чему сходится этот ряд в его области сходимости, напоминает мне анекдот

(Оффтоп)

Американцы достали инструкции и чертежи русского сверхсекретного истребителя. Все детали по чертежам сделали, собрали - получился локомотив. Ладно, разобрали, еще раз проверили по чертежам, собрали - опять локомотив. Американцы, ничего не понимая, выкрали русского конструктора:
- Что за ерунда?! Почему вместо истребителя получается локомотив?!
А он им отвечает:
- А вы посмотрите, там на чертежах внизу мелким шрифтом: после сборки обработать напильником

В общем, я что-то не совсем понимаю, почему в области сходимости, даже если она пересекается с каким-то лучом, который мы "выключаем" из области исследования функции, ряд должен сходиться к функции отличной от той, которую мы разложили. Подскажите, в чем тут дело?

[Brukvalub]

artempalkin в сообщении #1469636 писал(а):

Подскажите, в чем тут дело?

А, вдруг, дело в том, что заданный разрез препятствует обходу вокруг т. ветвления и позволяет выделить некоторую ветвь логарифма, но упрямый ряд сходится к другой ветви, выделяющейся при ином разрезе?