Подскажите пример функции

[amiable]

Привет всем.
Помогите решить такую задачу.
1. Привести пример функции из сепарабельного метрического пространства X в метрическое пространство Y такой, чтобы график этой функции в индуцированной метрике был несепарабельным метрическим пространством.

Пока на ум приходит такое:
f(x)=0, если х - рациональное и f(x)=x, если х - иррациональное. Образ Q, таким образом, отделен от остального графика.
Если это правильный пример, то как бы можно было показать, что график не содержит счётного всюду плотного подмножества?
Спасибо.

[id]

amiable
А почему образ f должен ( или даже может ) быть несепарабельным ( ведь он - подмножество сепарабельного $\mathbb{R}$ )? Или Вы предварительно, умалчивая, ввели в $\mathbb{R}$ топологию, в которой $\mathbb{R}$ несепарабельно?

Можно подумать над вариациями на тему
$f(x): \mathbb{R} \to \mathbb{R}', f(x) = x$, где $\mathbb{R}'$ - вещественная прямая, снабженная дискретной топологией, а $\mathbb{R}$ - вещественная прямая с обычной топологией.

[amiable]

id писал(а):

amiable
А почему образ f должен ( или даже может ) быть несепарабельным ( ведь он - подмножество сепарабельного $\mathbb{R}$ )? Или Вы предварительно, умалчивая, ввели в $\mathbb{R}$ топологию, в которой $\mathbb{R}$ несепарабельно?

Можно подумать над вариациями на тему
$f(x): \mathbb{R} \to \mathbb{R}', f(x) = x$, где $\mathbb{R}'$ - вещественная прямая, снабженная дискретной топологией, а $\mathbb{R}$ - вещественная прямая с обычной топологией.

Вообще-то эта задача по функциональному анализу, а не по топологии.
Я считаю, что $\mathbb{X}$ - это $\mathbb{R}$ с обычной метрикой. Вот если бы можно было показать, что $\mathbb{R}$\$\mathbb{Q}$ не содержит счётного всюду плотного подмножества (это уже задача по теории множеств), то получилось бы требуемое - прямая $y=x$, из которой исключены все точки с рациональными абсциссами, вместе с точками оси Ox с такими же абсциссами были бы несепарабельным метрическим пространством.
Вы не знаете, как это можно сделать?
.

[Echo-Off]

amiable писал(а):

Вот если бы можно было показать, что $\mathbb{R}$\$\mathbb{Q}$ не содержит счётного всюду плотного подмножества (это уже задача по теории множеств), то получилось бы требуемое
.

Рассмотрите множество

$$\{x+\sqrt2:\ x \in \mathbb{Q}\}$$

[amiable]

Echo-Off писал(а):

amiable писал(а):

Вот если бы можно было показать, что $\mathbb{R}$\$\mathbb{Q}$ не содержит счётного всюду плотного подмножества (это уже задача по теории множеств), то получилось бы требуемое
.

Рассмотрите множество

$$\{x+\sqrt2:\ x \in \mathbb{Q}\}$$

Хорошо, мой пример не подходит. Тогда как же всё-таки решить эту задачу? Хотел бы обратить внимание, что функция f - разрывна, так как из её непрерывности немедленно получается сепарабельность графика f как метрического пространства с индуцированной метрикой.

[id]

amiable
Подпространство сепарабельного метр. пространства не может быть несепарабельным.

Дело не в топологии на $X$, а в топологии на $Y$. Самый простой пример, пришедший в голову, уже на эту тему привел. И опирается он именно на несепарабельность $Y$.

[Bard]

В книге
Ахиезер Н.И. Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом простанстве 1966
на стр. 47-49 приведён пример не сепарабельного гильбертова пространства

\[B^2 \]

почти периодических функций на прямой. В этом пространстве существует континуум ортонормированных векторов

\[e_\lambda \left( t \right) = e^{i\lambda t} ,\;\lambda \in R. \]

Поэтому отображение

\[R \to B^2\]

, задаваемое формулой

\[\lambda \to e_\lambda \]

годится, видимо, в качестве примера.
Книгу можно найти с помощью сайта
www.poiskknig.ru

[id]

Bard
Пространство тригонометрических полиномов с "несобственным интегральным" скалярным произведением?

[Bard]

Там скалярное произведение определяется по формуле

\[ \left( {f,g} \right) = \mathop {\lim }\limits_{T \to \infty } \frac{1}{{2T}}\int\limits_{ - T}^T {f\left( t \right)\overline {g\left( t \right)} \;dt} \]

,
где

\[{f\left( t \right)}\]

- тригонометрический многочлен вида

\[f\left( t \right) = \sum\limits_{k = 1}^n {a_k e^{i\lambda _k t} } \]

,
коэффициенты

\[a_k ,\,k = 1 \ldots n,\]

- комплексные числа, а

\[\lambda _k ,\,k = 1 \ldots n,\]

- вещественные числа.
Аналогичный вид имеет и

\[g\left( t \right)\]

.
Множество таких многочленов пополняется по метрике, индуцированной скалярным произведением. Это и есть пространство

\[B^2\]

.