Дифференцируемость и аналитичность функции компл.переменного

[Otta]

_DimONN_ в сообщении #1469166 писал(а):

Да, потому как должен быть лимит, а лимит по сути берет точку $z$, которая $\to z_0$, из окрестности. Так?

Что это тут делает?
Оставьте в покое предел. Не отвлекайтесь вообще. Вы применяете критерий КР. Точек сколько дифференцируемости, согласно нему?

[_DimONN_]

Только одна точка. Это $(0,0)$.

[kotenok gav]

А сколько точек в любой окрестности $(0, 0)$?

[_DimONN_]

Бесконечное количество вида $(x,0)$ и $(0,y)$, где $x, y \in \mathbb{R}$.

[Brukvalub]

_DimONN_ в сообщении #1469174 писал(а):

Бесконечное количество вида $(x,0)$ и $(0,y)$, где $x, y \in \mathbb{R}$.

А точек другого вида в окрестности быть не может?

[_DimONN_]

Бесконечное количество, наверное декартово произведение множества окрестностей точки $x_0 на множество окрестностей точки y_0$. P.S. C вашего разрешения завтра продолжу - Максим Дорофеев рекомендует восстановить мыслетопливо.

[_DimONN_]

Учитывая частные дифференциалы функций $U$ и $V$ окрестности точки $x_0$ входят, а окрестности $y_0$ не входят? А по совокупности для $z_0$ cуществует окрестность. Так?

[Otta]

_DimONN_ в сообщении #1469236 писал(а):

Учитывая частные дифференциалы функций $U$ и $V$ окрестности точки $x_0$ входят, а окрестности $y_0$ не входят? А по совокупности для $z_0$ cуществует окрестность. Так?

Извините, это набор слов. Откройте учебник. И прочитайте, что считается окрестностью точки комплексной плоскости.

[_DimONN_]

По определению окрестностью ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{z_{0}}}$ точки ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }$ называется множество вида ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{z_{0}}=\{z\colon |z-z_{0}|<r\},\,r>0}.$.

[Otta]

А для Вашей точки?
Раз.
А нарисуйте, как это будет выглядеть на комплексной плоскости. И скажите. Два.

[_DimONN_]

Для точки $z_0$ окрестностью ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{z_{0}}}$ будет множество вида ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{z_{0}}=\{z\colon |z|<r\},\,r>0}.$

[Otta]

_DimONN_
Так как оно называется, множество это?

[_DimONN_]

Это открытое множество.

[_DimONN_]

Так. Дифференцируемости в точке недостаточно. Недостаточно также дифференцируемости на линиях, что мы имеем в случае именно этой функции. Должна быть область. По сути, функция аналитическая, если ее можно выразить через дифференцируемую функцию от z.
Проверка здесь:

$f'(x)=\dfrac{\partial U}{\partial x} + i \dfrac{\partial V}{\partial x}=\dfrac{\partial V}{\partial y} - i \dfrac{\partial U}{\partial y}=\dfrac{\partial U}{\partial x} - i \dfrac{\partial U}{\partial y}=\dfrac{\partial V}{\partial y} + i \dfrac{\partial V}{\partial x} $


В общем, такое решение.

[Lia]

_DimONN_
Набирайте формулы в тексте. Время редактирования - час с момента публикации поста. Картинку уберите.
Заодно можете рассказать, какое это все отношение имеет к аналитичности.