Различные фактормножества

[VoprosT]

В Кострикине после шестого параграфа про отношение эквивалентности и факторизацию множеств есть упражнение: "Покажите, что для множеств из 2,3,4-ёх элементов существует соответственно 2,5,15 различных фактормножеств".

Вопрос №1. Правильно ли я понимаю, что для множества {1,2} фактормножества относительно следующих отношений эквивалентности будут одинаковыми: "все элементы эквивалентны 1" , "все элементы эквивалентны 2"?

Вопрос №2.1. Правильно ли я понимаю, что фактормножества для k-элементного мн-ва строятся по след. принципу: "склеиваем" все точки в одну, в две, в три, ... , в k. Тогда для мн-ва {1,2,3,4} есть 1 способ задать отн-ие экв-ти, которое всё "склеит" в одну точку, 6 способов задать отн-ие, которое всё "склеит" в 3 точки и 1 способ задать отн-ие, которое всё "склеит" в 4 точки, а вот отн-ие, которое всё склеит в 2 точки можно задать 4(элемент экв. сам себе и три других между собой) + 6 способами (две пары элементов).
Вопрос №2.2. Но в последнем способе (назовём его "4+6") есть совпадающие фактормножества, верно? (с ответом ведь не сходится)

Тогда заключительный вопрос: можно ли обобщить эту задачу и узнать, сколько различных фактормножеств у n-элементного множества? Мне думается, что нельзя, потому что будут совпадения фактормножеств, которые отловить тяжело уже даже на 4-5 элементных множествах (да и статей/параграфов в учебниках по этому поводу я не нашёл).

[mihaild]

VoprosT в сообщении #1469119 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что для множества {1,2} фактормножества относительно следующих отношений эквивалентности будут одинаковыми: "все элементы эквивалентны 1" , "все элементы эквивалентны 2"?

Да. Более того, эти два отношения эквивалентности совпадают.

VoprosT в сообщении #1469119 писал(а):

6 способов задать отн-ие, которое всё "склеит" в 3 точки

Почему 6?

VoprosT в сообщении #1469119 писал(а):

можно ли обобщить эту задачу и узнать, сколько различных фактормножеств у n-элементного множества?

Это называется числа Белла. Совсем простой формулы для них вроде бы нет, но есть несложные рекурренты.

[VoprosT]

mihaild в сообщении #1469122 писал(а):

VoprosT в сообщении #1469119 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что для множества {1,2} фактормножества относительно следующих отношений эквивалентности будут одинаковыми: "все элементы эквивалентны 1" , "все элементы эквивалентны 2"?

Да. Более того, эти два отношения эквивалентности совпадают.

А правильно ли говорить, что совпадают отношения эквивалентности?Они ведь вроде разные, но, наверное, совпадают классы эквивалентности?

mihaild в сообщении #1469122 писал(а):

VoprosT в сообщении #1469119 писал(а):

6 способов задать отн-ие, которое всё "склеит" в 3 точки

Почему 6?

Выбрать два отдельных элемента из четырех, ну и оставшаяся пара однозначно задаётся, итого 3 элемента в фактормножестве

[VoprosT]

VoprosT в сообщении #1469119 писал(а):

Вопрос №2.2. Но в последнем способе (назовём его "4+6") есть совпадающие фактормножества, верно? (с ответом ведь не сходится)

Почитал про числа Стирлинга 2 рода, действительно, на два непустых подмножества можно разбить 4+3 способами. Моя ошибка была в том, что я включал по два раза одно и то же разбиение, например, {1,2}U{3,4} и {3,4}U{1,2} так, как я делал это, когда разбивал множество на три подмножества, потому что в этом случае {1}U{2}U{3,4} и {3}U{4}U{1,2} уже и правда различны.

Цитата:

Цитата с Вики про числа Белла: "Ряд чисел Белла обозначает число способов, с помощью которых можно распределить $n$ пронумерованных шаров по $n$ идентичным коробкам."

Я правильно понимаю, что это отличается от разложения натурального числа на $k$ неотрицательных целых слагаемых тем, что здесь шары занумерованы?

[mihaild]

VoprosT в сообщении #1469152 писал(а):

А правильно ли говорить, что совпадают отношения эквивалентности?

Что вооще такое отношение эквивалентности, как множество?

VoprosT в сообщении #1469168 писал(а):

это отличается от разложения натурального числа на $k$ неотрицательных целых слагаемых тем, что здесь шары занумерованы?

Правильно, а что вас смущает?

[VoprosT]

mihaild в сообщении #1469182 писал(а):

VoprosT в сообщении #1469152 писал(а):

А правильно ли говорить, что совпадают отношения эквивалентности?

Что вооще такое отношение эквивалентности, как множество?

Набор неупорядоченных(в силу симметричности) пар (x,y), который является подмножеством X x Y.
"все элементы эквивалентны 1"= {(1,2),(1,3),(1,4)} равносильно "все элементы эквивалентны 2" в силу симметричности и транзитивности отношения,и в конечном итоге отношение будет задаваться так: {(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}, разобрался, спасибо.

mihaild в сообщении #1469182 писал(а):

VoprosT в сообщении #1469168 писал(а):

это отличается от разложения натурального числа на $k$ неотрицательных целых слагаемых тем, что здесь шары занумерованы?

Правильно, а что вас смущает?

Уже не смущает, просто нужно было время свыкнуться, комбинаторика порой тяжело идёт у меня.

[mihaild]

VoprosT в сообщении #1469186 писал(а):

Набор неупорядоченных(в силу симметричности).

Нет, отношение - это всегда набор упорядоченных пар. Просто в отношении эквивалентности всегда, если есть $(x, y)$, то есть и $(y, x)$.

[VoprosT]

mihaild в сообщении #1469220 писал(а):

VoprosT в сообщении #1469186 писал(а):

Набор неупорядоченных(в силу симметричности).

Нет, отношение - это всегда набор упорядоченных пар. Просто в отношении эквивалентности всегда, если есть $(x, y)$, то есть и $(y, x)$.

То есть для множества $\left\lbrace1,2,3,4\right\rbrace$ отношение "все элементы эквивалентны между собой(или 1,или 2,или 3)" всё-таки выглядит вот так: $\left\lbrace(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(3,1),(4,1),(2,3),(2,4),(3,2),(4,2),(3,4),(4,3)\right\rbrace$?