2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Решение уравнения в рациональных числах
Сообщение22.03.2013, 23:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
762
Исходное уравнение имеет и другие решения, которые не получаются из рассмотрения рациональных прямоугольных треугольников.

$$z^2  = x^2  + x^{ - 2}  + y^2  + y^{ - 2}  = \left( {x + x^{ - 1} } \right)^2  + \left( {y - y^{ - 1} } \right)^2$

Представим левую часть через переменную $t$

$$\left[ {t\left( {x + x^{ - 1} } \right) + \left( {y - y^{ - 1} } \right)} \right]^2  = \left( {x + x^{ - 1} } \right)^2  + \left( {y - y^{ - 1} } \right)^2 $

Раскроем скобки и преобразуем

$$t^2 \left( {x + x^{ - 1} } \right) + 2t\left( {y - y^{ - 1} } \right) = \left( {x + x^{ - 1} } \right)  $

$$t^2 y\left( {x^2  + 1} \right) + 2tx\left( {y^2  - 1} \right) = y\left( {x^2  + 1} \right)  $

Далее, надеясь на везучесть, подбираем $t$, а именно

$$t^2 yx^2  = 2tx \to tyx = 2 \to y = \frac{2}{{tx}}$

Тогда

$$t^2  + 2txy = \left( {x^2  + 1} \right) \to t^2  + 4 = \left( {x^2  + 1} \right) \to x^2  - t^2  = 3$

Все решения последнего уравнения

$$x = \frac{{h^2  + 3}}{{2h}},t = \frac{{h^2  - 3}}{{2h}}$

И находим

$$y = \frac{{8h^2 }}{{h^4  - 9}}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения в рациональных числах
Сообщение23.03.2013, 12:49 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Неожиданное и интересное решение. Заодно получена и новая параметризация рационального кубоида с одной нерациональной диагональю.
Хорошо бы понять, есть ли здесь глубокая подоплека кроме "везучести".

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения в рациональных числах
Сообщение24.03.2013, 13:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
762
Метод-то стандартный, к примеру, используется для нахождения решений при известном одном решении в эллиптических уравнениях 3,4-го порядка.Тут главное выделить квадрат потяжеловестнее, тогда после сокращения исходное уравнение сильно упрощается для решения. Если повезёт с новой переменной. :-)
Этот же приём, один в один, подходит и для нахождения серии в уравнении

$$z^2  = \left( {x - x^{ - 1} } \right)^2  + \left( {y - y^{ - 1} } \right)^2$

которое является уравнением кубоида Эйлера со сторонами

$$a = \left| {x - x^{ - 1} } \right|,b = \left| {y - y^{ - 1} } \right|,c = 2$

и с нерациональной главной диагональю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения в рациональных числах
Сообщение03.06.2020, 23:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
scwec в сообщении #699898 писал(а):
... Последний вопрос я все же оставляю. Вдруг кто-нибудь рискнет.

Рискну потревожить архивную тему, но по другому поводу. Если домножить почленно $x^2+\dfrac{1}{x^2}+y^2+\dfrac{1}{y^2}=z^2$ на $(xy)^2$, получаем $\left ( (xy)^2+1 \right ) \left ( x^2+y^2 \right ) = \square $. Похоже на недавнее $\left ( (XY)^2-1 \right ) \left ( X^2-Y^2 \right ) = \square $ и, если верно последнее, то пара $x=\sqrt{\dfrac{\left ( XY \right )^2-1}{X^2-Y^2}},\ y=\sqrt{\dfrac{\left ( X+Y \right )\left ( XY+1 \right )}{\left ( X-Y \right )\left ( XY-1 \right )}}$ удовлетворяет первому. Оно само по себе любопытно, но вот обратной связи найти не удается. И есть ли она. Интересная задача.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения в рациональных числах
Сообщение14.06.2020, 13:38 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Ещё одно полезное наблюдение.
Для уравнения в рациональных числах
$x^2+\dfrac{1}{x^2}+y^2+\dfrac{1}{y^2}=z^2\qquad(1)$ справедливо следующее утверждение.
Для любого рационального $R\ne{0}$ найдется решение $x,y$ уравнения $(1)$ такое, что $xy=R$
Такое же утверждение справедливо и для уравнения
$X^2+\dfrac{1}{X^2}-Y^2-\dfrac{1}{Y^2}=Z^2\qquad(2)$
Для первого уравнения все решения получаются из рациональных точек кривой с уравнением
$w^2=u^3-(4R^2+4R^6+8R^4)u$
Приведу пример решения:
$y=\dfrac{-1+3R^4+6R^2}{-6R^2+R^4-3}$, $x=\dfrac{R(-6R^2+R^4-3)}{-1+3R^4+6R^2}$, $xy=R$
и таких решений бесконечно много.
Решения второго уравнения получаются из рациональных точек кривой с уравнением
$w^2=u^3+(4R^2-8R^4+4R^6)u$
Пример решения $(2)$:
$Y=\dfrac{(-1+3R^4-6R^2)}{6R^2+R^4-3}$, $X=\dfrac{R(6R^2+R^4-3)}{-1+3R^4-6R^2}$, $XY=R$
и таких решений тоже бесконечно много.
Отсюда уже видно, что второе решение получается из первого заменой знаков перед $R^2$.
Первое решение получается из второго таким же образом.
В общем случае замена знаков происходит перед $R^{4s+2}$
и возможна перемена $X$ на $Y$, а $Y$ на $X$.

Приведу ещё два примера:
Решение для $(1)$:
$y=\dfrac{5R^{12}+62R^{10}-105R^8-300R^6-125R^4-50R^2+1}{R^{12}-50R^{10}-125R^8-300R^6-105R^4+62R^2+5},x=\dfrac{R}{y}$

Решение для $(2)$:
$Y=\dfrac{5R^{12}-62R^{10}-105R^8+300R^6-125R^4+50R^2+1}{R^{12}+50R^{10}-125R^8+300R^6-105R^4-62R^2+5},X=\dfrac{R}{Y}$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group