Задача на применение аксиомы Цермело

[Prosto4elovek.]

Может ли существовать такой класс Х,
1)все множества которого -- подмножества натурального ряда,
2)пересечение любых двух множеств из Х является множеством конечным,
3)класс Х несчетен.
Понятно что среди множеств данного класса могут быть такие, которые содержат "уникальные" числа (присущие только этому множеству и никакому другому). И совершенно ясно что таких множеств может быть не более чем чем счетное "число" (в противном случае с помощью аксиомы Цермело легко получить несчетное множество (все элементы которого натуральные числа)). Но как доказать что остальных множеств (тех которые не содержат "уникальных" чисел, а целиком сформированы из элементов других множеств)?
Или я вообще ошибаюсь в своих догадках и класс Х вполне может быть несчетным?

[apriv]

Prosto4elovek. в сообщении #697975 писал(а):

Может ли существовать такой класс Х,

Да, может.

[Prosto4elovek.]

apriv в сообщении #698041 писал(а):

Prosto4elovek. в сообщении #697975 писал(а):

Может ли существовать такой класс Х,

Да, может.

Спасибо конечно за обстоятельное объяснение. Еще бы пример такого чудо-юдо класса привел бы.

[lyuk]

Для каждого числа $x\in\mathbb R$ берем $N_x\subseteq \mathbb N$ так, что $\lim\limits_{n\in N_x}q_n=x$, где $\mathbb Q=\{q_n:n\in\mathbb N\}$. Семейство $(N_x:x\in\mathbb R)$ -- искомое.

[parean]

lyuk в сообщении #698171 писал(а):

Для каждого числа $x\in\mathbb R$ берем $N_x\subseteq \mathbb N$ так, что $\lim\limits_{n\in N_x}q_n=x$, где $\mathbb Q=\{q_n:n\in\mathbb N\}$. Семейство $(N_x:x\in\mathbb R)$ -- искомое.

Почему? Беру любую последовательность, добавляю к ней в самое начало произвольное число. На сходимость это не влияет, но получается две последовательности с бесконечным пересечением.

[Someone]

parean в сообщении #1467807 писал(а):

Беру любую последовательность, добавляю к ней в самое начало произвольное число. На сходимость это не влияет, но получается две последовательности с бесконечным пересечением.

Там же не было сказано "берём все такие…"

[parean]

Someone в сообщении #1467816 писал(а):

parean в сообщении #1467807 писал(а):

Беру любую последовательность, добавляю к ней в самое начало произвольное число. На сходимость это не влияет, но получается две последовательности с бесконечным пересечением.

Там же не было сказано "берём все такие…"

Да, если для каждого числа выбирать единственную последовательность, которая к нему сходится, то, кажется, всё хорошо.
Эта задача встречается в книжке Шеня "Начала теории множеств". И там есть ещё вторая часть, где условие про пересечение заменяется на симметрическую разность. Кажется, что в этом случае семейство несчётным быть не может, но я что-то не могу придумать доказательства. Вы не могли бы подтолкнуть меня в правильном направлении?

[Someone]

parean в сообщении #1467835 писал(а):

И там есть ещё вторая часть, где условие про пересечение заменяется на симметрическую разность.

В смысле, симметрическая разность любой пары множеств конечна?

parean в сообщении #1467835 писал(а):

Вы не могли бы подтолкнуть меня в правильном направлении?

А насколько сильно отличаются два множества, симметрическая разность которых конечна?

[parean]

Someone в сообщении #1467858 писал(а):

parean в сообщении #1467835 писал(а):

И там есть ещё вторая часть, где условие про пересечение заменяется на симметрическую разность.

В смысле, симметрическая разность любой пары множеств конечна?

Да.

Someone в сообщении #1467858 писал(а):

parean в сообщении #1467835 писал(а):

Вы не могли бы подтолкнуть меня в правильном направлении?

А насколько сильно отличаются два множества, симметрическая разность которых конечна?

Они отличаются на конечное количество элементов. При этом, все различные конечные симметрические разности можно разбить в счётное семейство множеств по числу элементов в разности. В то же время, при фиксированном количестве элементов различных разностей не более чем счётное количество. А значит, мощность всех возможных разностей счётна, как мощность счётного объединения счётных множеств. Если мы теперь зафиксируем некоторое подмножество натурального ряда, то получится, что можно придумать не более чем счётное количество отличающихся от него множеств, симметрическая разность с которыми будет конечна. А их должно быть континуум, противоречие. Верно?

[Someone]

parean в сообщении #1467925 писал(а):

Верно?

Верно.

parean в сообщении #1467925 писал(а):

А их должно быть континуум

Почему континуум? В условии, по-моему, континуум не упоминался.

parean в сообщении #1467925 писал(а):

противоречие.

С чем? Вы просто показываете, что семейство множеств, удовлетворяющее заданному условию, не более чем счётно. Поэтому несчётным оно быть не может. Вы же в своих рассуждениях эту несчётность никак не использовали, поэтому доказательства "от противного" у Вас нет и говорить о получении "противоречия" бессмысленно.
Конечно, формально Вы в начале можете сказать: "Предположим, что искомое семейство несчётно". Тогда у Вас формально противоречие будет. Но, поскольку Вы всё равно эту несчётность никак не используете, то нужды в этом предположении нет, а полученное противоречие ни для чего не нужно.

[parean]

Someone в сообщении #1468107 писал(а):

parean в сообщении #1467925 писал(а):

А их должно быть континуум

Почему континуум? В условии, по-моему, континуум не упоминался.

Ой, действительно. Я хотел написать "несчётно" вместо "континуум".

Someone в сообщении #1468107 писал(а):

parean в сообщении #1467925 писал(а):

противоречие.

С чем? Вы просто показываете, что семейство множеств, удовлетворяющее заданному условию, не более чем счётно. Поэтому несчётным оно быть не может. Вы же в своих рассуждениях эту несчётность никак не использовали, поэтому доказательства "от противного" у Вас нет и говорить о получении "противоречия" бессмысленно.
Конечно, формально Вы в начале можете сказать: "Предположим, что искомое семейство несчётно". Тогда у Вас формально противоречие будет. Но, поскольку Вы всё равно эту несчётность никак не используете, то нужды в этом предположении нет, а полученное противоречие ни для чего не нужно.

Вы правы, упоминание противоречия было лишним.
Спасибо.