Предел суммы ряда

[Linar]

Добрый день!
Доказать, что:

$$ \lim_{n\to\infty}\sum\limits_{i=1}^{kn+1}\frac{i}{n^{2}+i} = \frac{k^2}{2}$$

Додумался только до: $ \lim_{n\to\infty}\sum\limits_{i=1}^{kn+1}\frac{i}{n^{2}+i} = \lim_{n\to\infty}\sum\limits_{i=1}^{kn+1}1+\frac{i-n^{2}-i}{n^{2}+i} = \lim_{n\to\infty}[kn+1-n^2\sum\limits_{i=1}^{kn+1}\frac{1}{n^{2}+i}]$
Понял, что в данном случае нельзя менять местами знак суммы и предела.
А куда дальше копать - не знаю.

[nnosipov]

Linar в сообщении #1467451 писал(а):

Додумался только до:

Дальше можно воспользоваться оценкой для гармонических чисел:

$$\sum_{i=1}^N\frac{1}{i}=\ln{N}+\gamma+\frac{1}{2N}+O\left(\frac{1}{N^2}\right), \quad N \to \infty$$

(см., например, https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_number).

[provincialka]

А свести к интегральной сумме пробовали?

[nnosipov]

provincialka в сообщении #1467466 писал(а):

А свести к интегральной сумме пробовали?

К интегральной сумме сводилась бы сумма типа

$$\sum_{i=1}^{kn+1}\frac{i}{n^2+ni},$$

а здесь другое. Может, у ТС опечатка в условии?

[Linar]

Цитата:

Может, у ТС опечатка в условии?

Нет, всё верно.
На самом деле я немного переформулировал условие, и изначально условие задачи выглядело так:

Цитата:

Найти предел последовательности:
$a_n=\frac{1}{n^{2}+1}+\frac{2}{n^{2}+2}+...+\frac{kn+1}{n^{2}+kn+1}$

А значение этого предела я вычислил в Wolfram Mathematica

[nnosipov]

Linar в сообщении #1467477 писал(а):

Нет, всё верно.

Окей. Если не хочется возится с асимптотикой гармонических чисел, то можно написать двустороннюю оценку Вашей суммы через интеграл

$$I_n=\int_1^{kn+1}\frac{x}{n^2+x}dx,$$

после чего найти предел интеграла при $n \to \infty$.