Задача на теорему Руше

[artempalkin]

Нужно найти количество корней уравнения в круге $|z|<\pi$:

$$z^4-\sin z=0$$

Соответственно, задача сводится к отысканию таких двух функций, что $f(z)+g(z)=z^4-\sin z$, при этом $|f(z)|>|g(z)|$ и $f(z)$ имеет очевидное число корней в заданной области.

Но как найти эти функции конкретно в этом случае я что-то придумать не могу... Есть идея исключить очевидный корень $z=0$:

$$z^3-\frac {\sin z}z=0,$$

но тоже как-то ничего особо не видно... Может быть, нужно разбивать на какие-то области или еще какой-то высший пилотаж? Подскажите, пожалуйста

[demolishka]

artempalkin в сообщении #1466775 писал(а):

Но как найти эти функции конкретно

Они вообще-то у Вас написаны. Или у Вас проблема с неравенством $\pi^{4} > e^{\pi}?$

[artempalkin]

demolishka в сообщении #1466790 писал(а):

Или у Вас проблема с неравенством $\pi^{4} > e^{\pi}?$

Это неравенство верно, с этим проблем нет :)

demolishka в сообщении #1466790 писал(а):

Они вообще-то у Вас написаны.

У меня написаны два варианта, и ни в одном я не вижу, как выполнялось бы условие $|f(z)|>|g(z)|$ :( Если говорить про $z^3-\frac {\sin z} z=0$, которая как бы разводит эти функции в нуле (а в остальном соотношение модулей не должна менять), то тут в районе нуля $|z^3|<\left|\frac {\sin z}z \right|$. Если же рассматривать поведение в районе точки, например, $\pi$, там $|z^3|>\left|\frac {\sin z}z \right|$... Не получается :(

[demolishka]

artempalkin в сообщении #1466775 писал(а):

$f(z)+g(z)=z^4-\sin z$

[nnosipov]

artempalkin в сообщении #1466814 писал(а):

Не получается :(

А Вы понимаете, что неравенство нужно доказывать только на границе (а не во всей области)?

[artempalkin]

nnosipov в сообщении #1466817 писал(а):

А Вы понимаете, что неравенство нужно доказывать только на границе (а не во всей области)?

Ооо... а ведь и точно... и ведь доказывал ее, а в конечном итоге значение не придал... Спасибо большое, понял ошибку :)

-- 03.06.2020, 17:36 --

demolishka в сообщении #1466790 писал(а):

Они вообще-то у Вас написаны.

Да, понял в чем дело. Спасибо за помощь :)