Дискретная математика.Полнота

[Stensen]

Доброго времени суток. Уважаемые, помогите понять. см.картинку. Не понятно почему для обоснования замкнутости $T_0 требуется чтобы $T_0 содержала тождественную функцию?. Что будет если $T_0$ не содержит тождественную функцию?

[Xaositect]

В общем случае композиция имеет вид $f(g_1, \dots, g_m)$, где все $g_i$ - это либо независимые переменные, либо функции из рассматриваемого класса.
Но так как у нас есть тождественные функции, то отдельно переменные можно не рассматривать, они являются значениями тождественных функций.

[Stensen]

Xaositect в сообщении #1466758 писал(а):

В общем случае композиция имеет вид $f(g_1, \dots, g_m)$, где все $g_i$ - это либо независимые переменные, либо функции из рассматриваемого класса.
Но так как у нас есть тождественные функции, то отдельно переменные можно не рассматривать, они являются значениями тождественных функций.

Вы имеете в виду, что при рассмотрении функций: $f(x_1,...,x_k,g_{k+1},g_m)$ я могу вместо $x_1,...,x_k$ подставить $x_1=0,...,x_k=0$ ? А если тождественных функций нет, то я не могу так сделать?

[Xaositect]

Тождественная функция - это $e(x) = x$ (или, возможно, $e_i(x_1, \dots, x_n) = x_i$, посмотрите какое определение в учебнике)

[EUgeneUS]

Stensen
ИМХО, привлечение в данное доказательство тождественной функции совершенно излишне.
Оно позволяет уменьшить запись аргументов, как указал уважаемый Xaositect, но больше ничего не дает.
Если $f(x_1 .... x_i) \in T_0$, то подставляя вместо её аргументов (любого количества), функции принадлежащие $T_0$, получаем $f(0,0,0,0,0 ....0_i) = 0$

[Stensen]

Xaositect в сообщении #1466768 писал(а):

Тождественная функция - это $e(x) = x$ (или, возможно, $e_i(x_1, \dots, x_n) = x_i$, посмотрите какое определение в учебнике)

$e(x) = x$ - в Яблонском. ($e_i(x_1, \dots, x_n) = x_i$ более информативно). Спасибо, пока понятно.