2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Предел обобщенной функции
Сообщение02.06.2020, 16:01 


02/06/20
7
Нужно найти предел в пространстве D'(R) функции $f_\varepsilon = \frac{1}{x^2\varepsilon\pi}\sin^2(\frac{x}{\varepsilon})$.

Очевидно, что при фиксированном $\varepsilon  \lim\limits_{x\to0}f_\varepsilon = \frac{1}{\pi \varepsilon^3}$. Тогда функция $f_\varepsilon$
является непрерывной и ограниченной, а значит локально интегрируемой. Другими словами, $f_\varepsilon$ порождает регулярную обобщенную функцию.

Во всех примерах на нахождение предела обобщенной функции, что я решал все "плохое", т.е $\varepsilon$ либо уходило при замене переменной в интеграле, либо сразу можно было перейти к пределу с помощью теоремы Лебега или Римана - Лебега, здесь же.

Пусть $ \varphi(x) \in D(R), supp  \varphi(x) \in [-R;R] $ Рассмотрим $$\int\limits_{-\infty}^{\infty}f_\varepsilon(x)\varphi(x)dx= \int\limits_{-R}^{R}\frac{1}{\pi\varepsilon x^2}\sin^2(\frac{x}{\varepsilon})\varphi(x)dx=\int\limits_{-R/ \varepsilon}^{R/ \varepsilon}\frac{1}{\pi \varepsilon^2 y^2}\sin^2(y)\varphi(y\varepsilon)dy$$. Как видно, переход к пределу напрямую не дает ничего хорошего, т.к $\varepsilon$ сидит в знаминателе, да ещё и с квадратом. Так же пробовал как - то добавить и отнять $\varphi(0)$ и что - то пооценивать, но опять же мешает проклятый эпсилон. В общем, я совсем потерялся что делать и нуждаюсь в помощи)

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел обобщенной функции
Сообщение02.06.2020, 16:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11473
Hogtown
Что будет если $\phi(0)=\phi'(0)=0$? Нечетна? Если $\phi(x)=1$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел обобщенной функции
Сообщение02.06.2020, 16:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9484
Цюрих
sneach, а скажите что $\varphi \geqslant 0$, $\varphi(x) = 1$ при $x \in [-1; 1]$ и посмотрите на получившийся у вас интеграл скажем по отрезку $[1; 2]$ - это будет оценка снизу на весь интеграл (т.к. подинтегральная функция положительная), и там получится какой-то ненулевой интеграл, умноженный на какую-то функцию от $\varepsilon$...

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел обобщенной функции
Сообщение02.06.2020, 17:48 


02/06/20
7
Red_Herring в сообщении #1466566 писал(а):
Что будет если $\varphi(0)=\varphi'(0)=0$? Нечетна? Если $\varphi(x)=1$?


Если $\varphi(x)=1$, то мы получим интеграл, который считается и равен $\int\limits_{-\infty}^{\infty}f_\varepsilon(x)dx=1/ \varepsilon^2$. Т.е все будет бежать на бесконечность

Если $\varphi(0)=\varphi'(0)=0$, то может следует попробовать сделать так: $\sin^2(x/ \varepsilon)=\frac{1}{2}(1+\cos(2x/ \varepsilon))$

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}f_\varepsilon(x)dx=\frac{1}{\pi\varepsilon}\int\limits_{-R}^{R}\frac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x^2}\frac{1}{2}(1-\cos(2x/\varepsilon))dx=\frac{1}{2\pi\varepsilon}\int\limits_{-R}^{R}\frac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x^2}dx - \frac{1}{\pi\varepsilon}\int\limits_{-R}^{R}\frac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x^2}\cos(\frac{2x}{\varepsilon})dx$$. Второй интеграл будет стремится к 0 по теореме Римана - Лебега, т.к в окрестности нуля, $\frac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x^2}dx$ ведет себя как $\varphi''(x)$, а если отойти от нуля, то это будет непрерывная функция. Но у нас же ещё есть $1/ \varepsilon$, она ничего не испортит? И ещё остается первый интеграл, который хороший, но его утянет $1/ \varepsilon$ Если, к тому $\varphi(x)$ - нечетная, то этот интеграл вообще будет равняться нулю, т.к интегрируем нечетную функцию по симметричному отрезку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел обобщенной функции
Сообщение02.06.2020, 17:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11473
Hogtown
sneach в сообщении #1466581 писал(а):

Если $\varphi(x)=1$, то мы получим интеграл, который считается и равен $\int\limits_{-\infty}^{\infty}f_\varepsilon(x)dx=1/ \varepsilon^2$. Т.е все будет бежать на бесконечность.

:facepalm: Сделайте замену переменных

Цитата:
Если $\varphi(0)=\varphi'(0)=0$, то может следует попробовать сделать так: $\sin^2(x/ \varepsilon)=\frac{1}{2}(1+\cos(2x/ \varepsilon))$

:facepalm: Это неверно и ненужно

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел обобщенной функции
Сообщение02.06.2020, 18:04 


02/06/20
7
Red_Herring
Какую замену сделать, $y=\frac{x}{\varepsilon}$? Вы намекаете на то, что интеграл посчитать неверно или на то что его ненужно считать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел обобщенной функции
Сообщение02.06.2020, 18:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11473
Hogtown
sneach в сообщении #1466584 писал(а):
Red_HerringКакую замену сделать,..
В первом интеграле.
sneach в сообщении #1466584 писал(а):
интеграл посчитать неверно или на то что его ненужно считать
Что формула неверна , и это делать не надо

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел обобщенной функции
Сообщение02.06.2020, 18:17 


02/06/20
7
Red_Herring
Делаем замену $y=\frac{x}{\varepsilon}.$ Получим $$ \frac{1}{\pi\varepsilon^2}\int\limits_{-\frac{R}{\varepsilon}}^{\frac{R}{\varepsilon}}\frac{\sin^2(y)}{y^2}dy$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел обобщенной функции
Сообщение02.06.2020, 18:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11473
Hogtown
Моя ошибка. Вам правильно указали, что если $\varphi\ge 0$ и $\varphi=1$ на $(-1,1)$ то интеграл стремится к бесконечности. У вас явно $\varepsilon$ не в знаменателе, а в числителе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел обобщенной функции
Сообщение02.06.2020, 18:22 


02/06/20
7
Red_Herring
Т.е вы полагаете, что в задании опечатка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел обобщенной функции
Сообщение02.06.2020, 18:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11473
Hogtown
sneach в сообщении #1466592 писал(а):
Т.е вы полагаете, что в задании опечатка?

Да

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел обобщенной функции
Сообщение02.06.2020, 18:42 


02/06/20
7
mihaild в сообщении #1466568 писал(а):
sneach, а скажите что $\varphi \geqslant 0$, $\varphi(x) = 1$ при $x \in [-1; 1]$ и посмотрите на получившийся у вас интеграл скажем по отрезку $[1; 2]$ - это будет оценка снизу на весь интеграл (т.к. подинтегральная функция положительная), и там получится какой-то ненулевой интеграл, умноженный на какую-то функцию от $\varepsilon$...

Не совсем понял про оценку снизу, вы предлагаете так? Для указанной вами функции $\varphi(x)$.
$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}f_\varepsilon(x)\varphi(x)dx \geq \int\limits_{1}^{2}f_\varepsilon(x)\varphi(x)dx \geq \min\limits_{x\in [1;2]}\varphi(x)\int\limits_{1}^{2}f_\varepsilon(x)dx = C\min\limits_{x\in [1;2]}\frac{1}{\pi \varepsilon}$$. А эта штука стремится к бесконечности.

Тогда получается мы предъявили какую - то функцию, для которой предела нет, а по определению он должен быть для любой $\varphi(x)$. Т.е предела нет?

-- 02.06.2020, 18:43 --

Red_Herring
Дело в том, что я специально переспросил преподавателя, ответ был такой:
Задача дана - жду вашего решения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел обобщенной функции
Сообщение02.06.2020, 18:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9484
Цюрих
sneach в сообщении #1466601 писал(а):
вы предлагаете так?
Да, примерно так. Только нужно доказать, что $\int_1^2 \sin^2\left(\frac{x}{\varepsilon}\right)\, dx$ не стремится к нулю при $\varepsilon \to \infty$, но это не сложно.
sneach в сообщении #1466601 писал(а):
Т.е предела нет?
Да, раз предела $f_\varepsilon(\varphi)$ не существует, то $f_\varepsilon$ в $D'$ никуда не сходится.
sneach в сообщении #1466601 писал(а):
ответ был такой:
Задача дана - жду вашего решения
Это уже к вопросам преподавания... Угадать, где опечатка - в условии ("найдите предел" вместо "проверьте существование предела и найдите, если существует") или в формулах - невозможно.

(Оффтоп)

Поэтому я всегда формулирую задачи в виде "сделайте что-то или докажите, что это невозможно" - так они точно будут корректны. Правда иногда в результате получаются задачи, эквивалентные открытым вопросам...

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел обобщенной функции
Сообщение02.06.2020, 19:11 


02/06/20
7
mihaild
У вас небольшая описка $\varepsilon\to 0$. Интеграл от синуса просто считается в лоб, и при переходе к пределу там получается константа, так что все хорошо. Спасибо, всем, а особенно Вам огромное, очень помогли :)

Из - за карантина курс по обобщенным функциям получился каким - то смазанным, к тому же, у нас почему - то не были предусмотрены семинары, а только лекции.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group