Предел обобщенной функции

[sneach]

Нужно найти предел в пространстве D'(R) функции $f_\varepsilon = \frac{1}{x^2\varepsilon\pi}\sin^2(\frac{x}{\varepsilon})$.

Очевидно, что при фиксированном $\varepsilon \lim\limits_{x\to0}f_\varepsilon = \frac{1}{\pi \varepsilon^3}$. Тогда функция $f_\varepsilon$
является непрерывной и ограниченной, а значит локально интегрируемой. Другими словами, $f_\varepsilon$ порождает регулярную обобщенную функцию.

Во всех примерах на нахождение предела обобщенной функции, что я решал все "плохое", т.е $\varepsilon$ либо уходило при замене переменной в интеграле, либо сразу можно было перейти к пределу с помощью теоремы Лебега или Римана - Лебега, здесь же.

Пусть $ \varphi(x) \in D(R), supp \varphi(x) \in [-R;R] $ Рассмотрим

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}f_\varepsilon(x)\varphi(x)dx= \int\limits_{-R}^{R}\frac{1}{\pi\varepsilon x^2}\sin^2(\frac{x}{\varepsilon})\varphi(x)dx=\int\limits_{-R/ \varepsilon}^{R/ \varepsilon}\frac{1}{\pi \varepsilon^2 y^2}\sin^2(y)\varphi(y\varepsilon)dy$$

. Как видно, переход к пределу напрямую не дает ничего хорошего, т.к $\varepsilon$ сидит в знаминателе, да ещё и с квадратом. Так же пробовал как - то добавить и отнять $\varphi(0)$ и что - то пооценивать, но опять же мешает проклятый эпсилон. В общем, я совсем потерялся что делать и нуждаюсь в помощи)

[Red_Herring]

Что будет если $\phi(0)=\phi'(0)=0$? Нечетна? Если $\phi(x)=1$?

[mihaild]

sneach, а скажите что $\varphi \geqslant 0$, $\varphi(x) = 1$ при $x \in [-1; 1]$ и посмотрите на получившийся у вас интеграл скажем по отрезку $[1; 2]$ - это будет оценка снизу на весь интеграл (т.к. подинтегральная функция положительная), и там получится какой-то ненулевой интеграл, умноженный на какую-то функцию от $\varepsilon$...

[sneach]

Red_Herring в сообщении #1466566 писал(а):

Что будет если $\varphi(0)=\varphi'(0)=0$? Нечетна? Если $\varphi(x)=1$?

Если $\varphi(x)=1$, то мы получим интеграл, который считается и равен $\int\limits_{-\infty}^{\infty}f_\varepsilon(x)dx=1/ \varepsilon^2$. Т.е все будет бежать на бесконечность

Если $\varphi(0)=\varphi'(0)=0$, то может следует попробовать сделать так: $\sin^2(x/ \varepsilon)=\frac{1}{2}(1+\cos(2x/ \varepsilon))$

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}f_\varepsilon(x)dx=\frac{1}{\pi\varepsilon}\int\limits_{-R}^{R}\frac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x^2}\frac{1}{2}(1-\cos(2x/\varepsilon))dx=\frac{1}{2\pi\varepsilon}\int\limits_{-R}^{R}\frac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x^2}dx - \frac{1}{\pi\varepsilon}\int\limits_{-R}^{R}\frac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x^2}\cos(\frac{2x}{\varepsilon})dx$$

. Второй интеграл будет стремится к 0 по теореме Римана - Лебега, т.к в окрестности нуля, $\frac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x^2}dx$ ведет себя как $\varphi''(x)$, а если отойти от нуля, то это будет непрерывная функция. Но у нас же ещё есть $1/ \varepsilon$, она ничего не испортит? И ещё остается первый интеграл, который хороший, но его утянет $1/ \varepsilon$ Если, к тому $\varphi(x)$ - нечетная, то этот интеграл вообще будет равняться нулю, т.к интегрируем нечетную функцию по симметричному отрезку.

[Red_Herring]

sneach в сообщении #1466581 писал(а):

Если $\varphi(x)=1$, то мы получим интеграл, который считается и равен $\int\limits_{-\infty}^{\infty}f_\varepsilon(x)dx=1/ \varepsilon^2$. Т.е все будет бежать на бесконечность.

Сделайте замену переменных

Цитата:

Если $\varphi(0)=\varphi'(0)=0$, то может следует попробовать сделать так: $\sin^2(x/ \varepsilon)=\frac{1}{2}(1+\cos(2x/ \varepsilon))$

Это неверно и ненужно

[sneach]

Red_Herring
Какую замену сделать, $y=\frac{x}{\varepsilon}$? Вы намекаете на то, что интеграл посчитать неверно или на то что его ненужно считать?

[Red_Herring]

sneach в сообщении #1466584 писал(а):

Red_HerringКакую замену сделать,..

В первом интеграле.

sneach в сообщении #1466584 писал(а):

интеграл посчитать неверно или на то что его ненужно считать

Что формула неверна , и это делать не надо

[sneach]

Red_Herring
Делаем замену $y=\frac{x}{\varepsilon}.$ Получим

$$ \frac{1}{\pi\varepsilon^2}\int\limits_{-\frac{R}{\varepsilon}}^{\frac{R}{\varepsilon}}\frac{\sin^2(y)}{y^2}dy$$

[Red_Herring]

Моя ошибка. Вам правильно указали, что если $\varphi\ge 0$ и $\varphi=1$ на $(-1,1)$ то интеграл стремится к бесконечности. У вас явно $\varepsilon$ не в знаменателе, а в числителе.

[sneach]

Red_Herring
Т.е вы полагаете, что в задании опечатка?

[Red_Herring]

sneach в сообщении #1466592 писал(а):

Т.е вы полагаете, что в задании опечатка?

Да

[sneach]

mihaild в сообщении #1466568 писал(а):

sneach, а скажите что $\varphi \geqslant 0$, $\varphi(x) = 1$ при $x \in [-1; 1]$ и посмотрите на получившийся у вас интеграл скажем по отрезку $[1; 2]$ - это будет оценка снизу на весь интеграл (т.к. подинтегральная функция положительная), и там получится какой-то ненулевой интеграл, умноженный на какую-то функцию от $\varepsilon$...

Не совсем понял про оценку снизу, вы предлагаете так? Для указанной вами функции $\varphi(x)$.

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}f_\varepsilon(x)\varphi(x)dx \geq \int\limits_{1}^{2}f_\varepsilon(x)\varphi(x)dx \geq \min\limits_{x\in [1;2]}\varphi(x)\int\limits_{1}^{2}f_\varepsilon(x)dx = C\min\limits_{x\in [1;2]}\frac{1}{\pi \varepsilon}$$

. А эта штука стремится к бесконечности.

Тогда получается мы предъявили какую - то функцию, для которой предела нет, а по определению он должен быть для любой $\varphi(x)$. Т.е предела нет?

-- 02.06.2020, 18:43 --

Red_Herring
Дело в том, что я специально переспросил преподавателя, ответ был такой:
Задача дана - жду вашего решения.

[mihaild]

sneach в сообщении #1466601 писал(а):

вы предлагаете так?

Да, примерно так. Только нужно доказать, что $\int_1^2 \sin^2\left(\frac{x}{\varepsilon}\right)\, dx$ не стремится к нулю при $\varepsilon \to \infty$, но это не сложно.

sneach в сообщении #1466601 писал(а):

Т.е предела нет?

Да, раз предела $f_\varepsilon(\varphi)$ не существует, то $f_\varepsilon$ в $D'$ никуда не сходится.

sneach в сообщении #1466601 писал(а):

ответ был такой:
Задача дана - жду вашего решения

Это уже к вопросам преподавания... Угадать, где опечатка - в условии ("найдите предел" вместо "проверьте существование предела и найдите, если существует") или в формулах - невозможно.

(Оффтоп)

Поэтому я всегда формулирую задачи в виде "сделайте что-то или докажите, что это невозможно" - так они точно будут корректны. Правда иногда в результате получаются задачи, эквивалентные открытым вопросам...

[sneach]

mihaild
У вас небольшая описка $\varepsilon\to 0$. Интеграл от синуса просто считается в лоб, и при переходе к пределу там получается константа, так что все хорошо. Спасибо, всем, а особенно Вам огромное, очень помогли :)

Из - за карантина курс по обобщенным функциям получился каким - то смазанным, к тому же, у нас почему - то не были предусмотрены семинары, а только лекции.