О дифференциальных уравнениях в ч. п. первого порядка

[Padawan]

Пусть $z=z(x,y)$ записана в неявном виде $\Phi(x,y,z)=0$. Тогда

$$ -y\Phi'_x-x\Phi'_y=(x-y)\Phi_z' $$

Этому уравнению Ваша функция $x^2-y^2-C$ удовлетворяет.

[Red_Herring]

Следует четко иметь в виду, что считается решением. Если под решением понимается функция $z=z(x,y)$, удовлетворяющая исходному уравнению, то $x^2-y^2=C$ решением не является (и поскольку термин "обобщенное решение" имеет вполне определенный смысл в УЧП, который обсуждать здесь не имеет смысла, то обобщенным решением оно также не является).

[пианист]

Если взять не $z(x,y)$, а, например, $x(z,y)$:

$$\begin{cases}z_x = \frac{1}{x_z}, \\z_y = - \frac{x_y}{x_z}, \end{cases}$$

то в таких координатах и $x^2 - y^2 = C$ решение (и в любых других тоже, лишь бы $z$ не оказалось зависимой переменной - это особый случай).

-- Пн июн 01, 2020 12:02:50 --

Плохо сказал ;(
Я имел в виду, что в любых координатах будут свои особые решения (которые не решения).

[Evgenii2012]

пианист, Padawan, большое спасибо за Ваши ответы. Пока что из того, что есть, они наиболее содержательны. Я же вообще ставлю вопрос более общо: в книгах Эльсгольца и Степанова, о которых я уже упоминал, речь идёт об отыскании общих решений уравнений в частных производных в виде $u=u(x_1, x_2,\lldots, x_n, z),$ при этом, делается это (в обоих источниках) при дополнительном условии $u_z\ne 0,$ о котором я также писал выше. Возникает вопрос (который я уже ставил, но видимо, был не вполне правильно понят некоторыми участниками): не возникает ли от этого предположения потери решений ? Кроме того, именно из-за условия $u_z\ne 0,$ беря потом частные производные от $u,$ мы можем выразить $\frac{\partial z}{\partial x_1},$ $\frac{\partial z}{\partial x_2}$ и так далее. Именно так и делают авторы указанных книг. Но, как мы видели по конкретной задаче, некоторые из подобных функций $u$ для конкретных уравнений могут и не удовлетворять условию $u_z\ne 0.$ Возникает вопрос и по поводу того, насколько корректным становится отыскание таких функций $u$, если предполагается одно условие, а результат решения нарушает это условие, и насколько корректным является запись общего решения в соответствующем виде (точнее: не является ли изложение материала из указанных книг некой "вольностью" со стороны авторов ?).

[Padawan]

Evgenii2012
Ничего не понял из Вашего последнего сообщения, но совершенно согласен с Red_Herring, что надо четко определиться, что мы называем решением. Функцию или интегральную поверхность. То же самое и с ОДУ. Например, является ли $x=0$ решением уравнения $xy'=y$? Здесь та же самая ситуация. $x^2-y^2=C$ является интегральной поверхностью, в каждой точке которой касательная плоскость принадлежит допустимому множеству плоскостей, описываемому дифф. уравнением.

Evgenii2012 в сообщении #1466300 писал(а):

Возникает вопрос и по поводу того, насколько корректным становится отыскание таких функций $u$, если предполагается одно условие, а результат решения нарушает это условие, и насколько корректным является запись общего решения в соответствующем виде

Появляются новые решения, которые нельзя записать как $z=z(x,y)$, но которые являются интегральными поверхностями уравнения. Решения вида $z=z(x,y)$ не теряются.

[Padawan]

Padawan в сообщении #1466315 писал(а):

является ли $x=0$ решением уравнения $xy'=y$

Переписываем уравнение в виде $xdy-ydx=0$ и говорим, что удовлетворяет.

А уравнение $P\frac{\partial z}{\partial x}+Q\frac{\partial z}{\partial y}=R$ можно на языке дифференциальных форм переписать как

$$ Pdy\wedge dz+Qdz\wedge dx+Rdx\wedge dy=0 $$

(подставьте $dz=z_xdx+z_ydy$)
В нашем случае получается

$$ ydy\wedge dz+xdz\wedge dx+(x-y)dx\wedge dy=0. $$

Ограничение этой формы на поверхность $x^2-y^2=C$ равно нулю, так как $xdx-ydy=0$, $dy=\frac xydx$, и подставляя это в форму, получим

$$ y\frac xy dx\wedge dz+x dz\wedge dx+(x-y)dx\wedge\frac xy dx=0. $$

[Evgenii2012]

Padawan, ещё раз благодарю Вас за Вашу версию ответа на мой вопрос. Разговаривал с коллегой из соседнего университета, специалистом именно по диф. уравнениям. Резюме тут следующее: понятие функции в анализе и диф. уравнениях отличаются. В анализе - функция есть однозначное отображение одного множества на другое. В диф. уравнениях функция -- зависимость между некоторыми величинами. Понятно, что в нашем случае между двумя первыми интегралами не для любой функции есть зависимость (мы уже видели это по элементарному примеру, который мы все обсуждали). Как пример, мы также обсуждали понятие диф. уравнения $n$-го порядка: на первой лекции по дифурам оно даётся в виде $f(x, y, y^{\,\prime}, y^{(2)}(x), \ldots, y^{(n)}(x) )=0,$ где $f$ -- "произвольная функция". Но понятно, что не для любой функции $f$ это действительно будем диф. уравнением в обычном смысле слова: можно же подобрать $f$ так, что там вообще исчезнут все производные и останется только $x$, и т.п. Поэтому, для того, чтобы обсуждать этот вопрос, нужно было сначала условиться, как мы понимаем слово "функция".

[Red_Herring]

Evgenii2012 в сообщении #1466735 писал(а):

В диф. уравнениях функция -- зависимость между некоторыми величинами

Это точка зрения геометрической теории дифференциальных уравнений, которая мейнстримом не является.