Определить, подобны ли матрицы

[artempalkin]

Задача формулируется так:

Оператор имеет в некотором базисе матрицу, на диагонали которой стоят единицы, выше диагонали - двойки, а в остальных местах нули. Можно ли утверждать, что найдется базис, в котором этот же оператор будет иметь матрицу, на диагонали которой стоят единицы, ниже диагонали - тройки, а в остальных местах нули?

Ясно, что по сути вопрос о подобии таких матриц. Матрицы подобны тогда и только тогда, когда структура их корневых пространств одинакова (когда совпадают жордановы формы). Это дает нам путь решения, но какой-то не очень простой (хотя, наверное, в таких симметричных случаях жордановы формы построить будет не очень сложно, и я не вижу, почему они будут отличаться).

Но все же мне кажется, что должен быть какой-то простой путь решения... Сравнение сумм главных миноров не помогает (у этих матриц характеристические многочлены равны). Подскажите, пожалуйста, есть ли какой-то простой путь?

[arseniiv]

Положим, единичный оператор мы можем сразу вычесть, у него всегда одна и та же матрица. Остаются двойки и тройки. Подкорректировав базис, мы можем сделать из них единицы. Теперь просто меняем порядок векторов в базисе и внезапно

[artempalkin]

arseniiv в сообщении #1466019 писал(а):

Положим, единичный оператор мы можем сразу вычесть, у него всегда одна и та же матрица. Остаются двойки и тройки. Подкорректировав базис, мы можем сделать из них единицы. Теперь просто меняем порядок векторов в базисе и внезапно

Давайте мы сначала поменяем порядок :) Тогда наши матрицы уже станут сильно похожи: отличается только число на диагонали повыше главной.

Теперь по поводу вычитания единичной матрицы. Получается, что матрицы $A$ и $B$ подобны тогда и только тогда, когда подобны матрицы $A+\alpha E$ и $B+\alpha E$, где $\alpha \in \mathbb{R}$. Это гениально, я с этим согласен, это прямо тянет на отдельную теорему.

Теперь осталось только доказать, что матрицы с тройками на диагонали повыше главной и двойками на той же диагонали подобны. Вы пишете

arseniiv в сообщении #1466019 писал(а):

Подкорректировав базис, мы можем сделать из них единицы

и вот это я не совсем понимаю, как сделать, честно говоря...

-- 30.05.2020, 18:24 --

Brukvalub в сообщении #1466023 писал(а):

Базисные векторы можно удлинять и укорачивать.

Ну да, то есть, получается, скажем, $Ae_2=2e_1$. Я укорачиваю $e_2$ вдвое и получаю там единицу. Далее $Ae_3=2e_2=4e'_2$, а значит $e_3$ нужно укоротить в 4 раза... Да, получается!

[B@R5uk]

Не проще ли просто сослаться на теорему о жордановой нормальной форме матрицы? Или слишком много вычислений для нахождения собственных значений?

[artempalkin]

B@R5uk в сообщении #1466050 писал(а):

Или слишком много вычислений для нахождения собственных значений?

Шутить изволите :)

B@R5uk в сообщении #1466050 писал(а):

Не проще ли просто сослаться на теорему о жордановой нормальной форме матрицы?

В каком плане "сослаться"? Нужно же доказать, что у них жордановы формы одинаковы, а откуда это следует? :) Интуитивно это понятно, но ведь это нужно доказывать.

[Xaositect]

artempalkin в сообщении #1466053 писал(а):

В каком плане "сослаться"? Нужно же доказать, что у них жордановы формы одинаковы, а откуда это следует? :) Интуитивно это понятно, но ведь это нужно доказывать.

Ну если сильно надо, то доказать $\mathrm{rk} (A - E)^k = n - k$ несложно, а отсюда жорданова форма очевидна. Но по-моему тоже лучше не разводить жордановы формы и привести явно подобие.

[artempalkin]

Xaositect в сообщении #1466054 писал(а):

привести явно подобие

Да, у меня получилось это сделать, с помощью Arseniiv и Brukvalub.

Xaositect в сообщении #1466054 писал(а):

то доказать $\mathrm{rk} (A - E)^k = n - k$ несложно

Да, я тоже думал об этом; одинаковая структура корневых пространств и равенство собственных значений говорят о равенстве жордановых форм. Спасибо!

[vpb]

artempalkin в сообщении #1466053 писал(а):

Интуитивно это понятно, но ведь это нужно доказывать.

Приведу более общее утверждение, чтоб показать, что явное подобие ни при чем. Попробуйте доказать в качестве задачи.

Пусть у матрицы на диагонали одни и те же числа (единицы, скажем), под диагональю --- нули, на первой наддиагонали все элементы ненулевые (и возможно разные), а другие элементы выше диагонали произвольны. Тогда она подобна жордановой клетке. (Но явное подобие тут не построишь !)

-- 30.05.2020, 21:43 --

Кстати, в формулировке двусмысленность: я прочитал ее так, что выше диагонали ВСЕ элементы --- двойки. А вы, как и остальные, подразумевали первую наддиагональ. Скорее всего, и авторы это (только про первую наддиагональ) в виду имели; а может и нет...

[Padawan]

Жорданова форма варажаются через НОДы миноров характеристической матрицы. А тут минор, полученный вычеркиванием первого столбца и последней строки равен произведению своих диагональных элементов, то есть ненулевой константе, то есть единице (НОД считается с точностью до обратимого множителя). Значит все меньшие миноров тоже единицы. Значит, матрица подобна жордановой клетке.

Наверное, и задачу vpb можно решить аналогично.

[artempalkin]

vpb в сообщении #1466067 писал(а):

Пусть у матрицы на диагонали одни и те же числа (единицы, скажем), под диагональю --- нули, на первой наддиагонали все элементы ненулевые (и возможно разные), а другие элементы выше диагонали произвольны.

Единственным собственным значением (алгебраической кратности $n$) будет $1$ во всех таких случаях. При этом геометрическая кратность его будет $1$, т.к. $A-E$ будет иметь ранг $n-1$. В принципе, это завершает доказательство, потому что геометрическая кратность равна количеству жордановых клеток :)))

[g______d]

Если матрица $A$ строго верхнетреугольная с ненулевыми элементами на побочной диагонали и $\{e_1,\ldots,e_n\}$ стандартный базис, то в базисе $\{A^{n-1 }e_n, A^{n-2} e_n, \ldots, A e_n, e_n\}$ она имеет вид жорданова блока (если я не ошибся в уме). Для нижнетреугольной можно аналогично. Считать ли это явным построением подобия -- риторический вопрос.

[artempalkin]

g______d в сообщении #1466094 писал(а):

она имеет вид жорданова блока

Соответствующие вектора будут корневыми на своем "уровне" по одному, а значит они и будут жордановым базисом. Да, думаю, что вы правы, интересный факт!

g______d в сообщении #1466094 писал(а):

побочной диагонали

Маленькое уточнение: побочной диагональю называется другое (диагональ, идущая из левого нижнего угла в правый верхний). Не знаю, как называется "диагональ непосредственно над главной", хотелось бы какого-то названия, но не знаю.

artempalkin в сообщении #1466092 писал(а):

первой наддиагонали

Может быть, первая наддиагональ?

[g______d]

artempalkin в сообщении #1466106 писал(а):

побочной диагональю называется другое

Да, действительно. Ну пусть будет первая наддиагональ :)

artempalkin в сообщении #1466106 писал(а):

Соответствующие вектора будут корневыми на своем "уровне" по одному, а значит они и будут жордановым базисом.

Да. На самом деле это легко доказать напрямую. То, что это базис, следует из того, что если какой-то вектор является комбинацией следующих, это будет противоречить нильпотентности матрицы. А форма матрицы в базисе следует просто из построения: если мы подействуем $A$ на базисный вектор, получим предыдущий базисный вектор. Впрочем, это повторяет часть доказательства самой теоремы о ЖНФ.