Линейная алгебра. Коммутирующие матрицы.

[Ludmila_]

Всем доброго времени суток!

Доказать, что если матрица $X$ коммутирует, с любой матрицей, то $X = aE $

Легко показать, что такой $X$ удовлетворяет условию, проблема в том, как доказать, что других вариантов нет.

[Someone]

Ludmila_ в сообщении #1465690 писал(а):

проблема в том, как доказать, что других вариантов нет.

А самым прямым способом. Предположим, что некоторый элемент $x_{ij}$, $i\neq j$, матрицы $X$ не равен нулю. Придумайте такую матрицу $A$, что $AX\neq XA$. Затем, пусть $x_{ii}\neq x_{jj}$, где $i\neq j$. Придумайте такую матрицу $B$, что $BX\neq XB$.

[Ludmila_]

Не совсем поняла, что вы предлагаете. Найти конкретные примеры для которых равенство не выполняется? Такой вариант не подойдёт, так как надо доказать для произвольного $X$. А если действительно предполагать, что некоторые элемент не равны нулю, то конкретную матрицу $A$ подобрать уже не получится.

[Dan B-Yallay]

Ludmila_
Еще раз: в задаче требуется показать, что ЕСЛИ матрица коммутирует с любой другой, то она имеет вид $X = aE$.
Вам предлагается следующий путь доказательства: предположим, что $X \ne aE$, тогда можно найти такую матрицу $B$, что коммутации нет: $XB \ne BX$.

Отличаться от $aE$ можно двумя основными способами (остальное - их комбинации):
1) Матрица отличается от $aE$, тем, что есть ненулевой элемент вне диагонали:

Someone в сообщении #1465699 писал(а):

Предположим, что некоторый элемент $x_{ij}$, $i\neq j$, матрицы $X$ не равен нулю. Придумайте такую матрицу $A$, что $AX\neq XA$.

2) Матрица отличается от $aE$, тем, что есть элемент на диагонали, отличный от других на диагонали (вне диагонали все элементы нулевые):

Someone в сообщении #1465699 писал(а):

Затем, пусть $x_{ii}\neq x_{jj}$, где $i\neq j$. Придумайте такую матрицу $B$, что $BX\neq XB$.

[Someone]

Добавлю ещё: для каждой пары неравных $i$ и $j$ можно искать свои собственные матрицы $A$ и $B$.