Предел экспоненты, степень которой стремится к нулю

[Juicer]

Есть следующее число: $ \frac {p }{1 - (1 - p) e^{itp} }$, и я хочу найти его предел при $p \rightarrow 0$.
В процессе я просто сделал так:

$$ \frac {p }{1 - (1 - p) e^{itp} } \overset{ L'Hopital}{ \underset{p \to 0}{\longrightarrow} } = \frac{1}{1 - it}$$

Но мне сказали, что просто заменить предел $\lim_{p\rightarrow 0}e^{itp}$ единицей нельзя, а нужно разложить в небольшой ряд Тейлора.
Возможно, я пропустил это на анализе, не могли бы вы посвятить, почему так?

[Otta]

Если Вы считаете по Лопиталю, при чем тут предел $\lim_{p\rightarrow 0}e^{itp}$, который можно/нельзя заменять?

[Juicer]

Так мы же дифференцируем экспоненту, экспонента и остаётся

[Otta]

И? Давайте конкретнее, какая дробь останется после Лопиталя?

[Juicer]

Otta в сообщении #1465379 писал(а):

дробь

$$\frac{1}{(1 - it + pit)e^{itp} }$$

[Otta]

Juicer
Ну и к чему стремится первый множитель в знаменателе? и к чему второй? Не нужен тут Тейлор совершенно. Обманули Вас.

[Juicer]

хм... ну ладно.
А вы, как знаток в теорвере(задача по теорверу, характеристические функции) может быть, знаете, когда нужно раскладывать в короткий ряд?

[Otta]

Juicer
Когда нужно.

Смотря для чего, смотря какую задачу Вы решаете, на все смотря.

[nnosipov]

Правило Лопиталя обычно доказывается для вещественнозначных функций, а здесь комплекснозначные. Как быть? Вдруг преподаватель упрется.

(Это так, мысли вслух.)

[Juicer]

nnosipov в сообщении #1465392 писал(а):

Как быть? Вдруг преподаватель упрется.

для правила Лопиталя важно же поведение в локальной окрестности и всё.
В общем там должна ещё быть аналитичность обеих функций и равенство их нулю в предельной точке. А экспонента в ноль же не обратится.
Значит, нужно что-то другое использовать

[nnosipov]

Juicer в сообщении #1465420 писал(а):

Значит, нужно что-то другое использовать

К этому надо подойти философски: если нам предлагают (или только намекают) решить задачу другим способом, то почему бы не попробовать? В учебном плане это очень даже естественно: пополним арсенал доступных нам методов/способов. Вообще, одну и ту же задачу полезно решать разными способами. Так и появляются навыки в решении задач.

[Someone]

Juicer в сообщении #1465420 писал(а):

там должна ещё быть аналитичность обеих функций

Аналитичность??? О, ужас!

Juicer в сообщении #1465420 писал(а):

равенство их нулю в предельной точке.

Кого "их"? Каких именно функций?

[Juicer]

Someone в сообщении #1465487 писал(а):

Аналитичность???

Именно так.

Someone в сообщении #1465487 писал(а):

О, ужас!

Что там с ним?

Someone в сообщении #1465487 писал(а):

Ког

Числителя и знаменателя соответственно, ну ясно же

[Someone]

Juicer в сообщении #1465489 писал(а):

Someone в сообщении #1465487 писал(а):

Аналитичность???

Именно так.

Вы давно в учебник математического анализа заглядывали? У Вас функция одной действительной переменной (Это ведь у вас преобразование Фурье?). Что функция имеет комплексные значения, роли не играет. Её легко привести к виду $f_1(p)+if_2(p)$ с действительными функциями.

Juicer в сообщении #1465489 писал(а):

Someone в сообщении #1465487 писал(а):

Ког

Числителя и знаменателя соответственно, ну ясно же

А что с ними не так? Они в нуль не обращаются?

[Juicer]

Someone в сообщении #1465491 писал(а):

Они в нуль не обращаются?

обращаются

Да, был неправ. Просто никогда не встречал/не задумывался об определении правила Лопиталя для комплекснозначной функции, нашёл определение, а на mathstackexchange было такое как раз, с аналитичностью.

Правильно понимаю, что неважно, где определена функция, мы всегда можем свести к случаю в $\mathbb{R}$?