Оценка следа для несамосопряженного оператора

[demolishka]

Пусть $A$ есть линейный оператор в $\mathbb{R}^{n}$ с заданным скалярным произведением, $\Pi$ есть ортогональный проектор на некоторое $k$-мерное подпространство $\mathbb{L}$. Иногда возникает задача оценить след оператора $A \circ \Pi$. Решается она так. Так как след не зависит от выбора ортонормированного базиса, то выберем произвольный ортонормированный базис $e_{1}, \ldots , e_{n}$ так, что $e_{1},\ldots,e_{k}$ образует базис для $\mathbb{L}$. Тогда

$$\operatorname{Tr}(A\circ \Pi) = \sum_{j=1}^{k} ( A e_{j} , e_{j} ) = \sum_{j=1}^{k} \left( \frac{1}{2}(A+A^{*})e_{j},e_{j} \right) \leq \alpha_{1} + \ldots + \alpha_{k},$$

где $\alpha_{j}$ это собственные числа оператора $(A+A^{*})/2$, пронумерованные в порядке невозрастания.

Меня интересует подобная оценка для случая, когда $A$ есть замкнутый, вообще говоря неограниченный и несамосопряженный, оператор, действующий в некотором гильбертовом пространстве $\mathbb{H}$. В этом случае имеется условие $\mathbb{L} \subset \mathcal{D}(A)$, где $\mathcal{D}(A)$ - область определение оператора $A$, и потому можно выбрать $e_{1},\ldots,e_{k} \in \mathcal{D}(A)$. Меня интересуют операторы $A$, появляющиеся в уравнениях с запаздыванием. Поэтому можно предполагать, что спектр $A$ состоит из собственных значений конечной кратности (даже можно считать, что простых), которые не лежат на мнимой оси и в любой правой полуплоскости их конечное число. Также $A$ имеет компактную резольвенту. К сожалению, как показывают примеры (см. мой пост на mo), в нетривиальных случаях оператор $A+A^{*}$ может иметь ядро коразмерности один и потому его собственные числа не имеют никакого отношения к оценке выше. Это также отражается в том обстоятельстве, что для второго равенства выше требуется также $e_{j} \in \mathcal{D}(A^{*})$, что почти никогда не выполняется.

Для самосопряженного случая (для некоторых параболических задач) подобная оценка имеется, но вот общий случай наивной симметризацией к нему не сводится .